Question

已知拋物線C₁：y₁=a（x-1）²+k₁（a≠0）交x軸于點（0，0）和點A₁（b₁，0），拋物線C₂：y₂=a（x-b₁）²+k₂交x軸與點（0，0）與點A₂（b₂，0），拋物線C₃：y₃=a（x-b₂）²+k₃交x軸與點（0，0）與點A₃（b₃，0）…按此規(guī)律，拋物線C_n：y_n=a（x-b_n-1）²+k_n交x軸與點（0，0）與點A_n（b_n，0）（其中n為正整數(shù)），我們把拋物線C₁，C₂，C₃…，C_n稱為系數(shù)為a的”關(guān)于原點位似“的拋物線族．
（1）試求出b₁的值；
（2）請用含n的代數(shù)式表示線段A_n-1A_n的長；
（3）探究下列問題：
①拋物線C_n：y_n=a（x-b_n-1）²+k_n的頂點縱坐標(biāo)k_n與a、n有何數(shù)量關(guān)系？請說明理由；
②若系數(shù)為a的”關(guān)于原點位似“的拋物線族的各頂點坐標(biāo)記為（T，S），請直接寫出S和T所滿足的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)拋物線C₁：y₁=a（x-1）²+k₁（a≠0）交x軸于點（0，0），對稱軸為直線x=1，可得拋物線與x軸的另一個交點，進一步得到b₁的值；
（2）由與（1）相同的方法可得b_n=2ⁿ，則A_n-1A_n=b_n-b_n-1可求；
（3）①由（1）同樣的方法可知，k₃=-16a，k₄=-64a，按此規(guī)律可知，k_n與a、n的數(shù)量關(guān)系；
②根據(jù)拋物線族的頂點坐標(biāo)S和T之間的關(guān)系即可求解．

解答：解：（1）∵拋物線C₁：y₁=a（x-1）²+k₁（a≠0）交x軸于點（0，0），對稱軸為直線x=1，
∴拋物線與x軸的另一個交點為（2，0），
∴b₁=2．

（2）由與（1）相同的方法可得b₂=4，b₃=8，b₄=16，
按此規(guī)律可得b_n=2ⁿ，
∴A_n-1A_n=b_n-b_n-1=2ⁿ-2^n-1=2^n-1．

（3）①k_n與a、n的數(shù)量關(guān)系為：k_n=-4^n-1a，理由如下：
由（1）將（0，0）代入y₁=a（x-1）²+k₁，可得k₁=-a，
∵b₁=2，
∴C₂：y₂=a（x-b₁）²+k₂可化為C₂：y₂=a（x-2）²+k₂，
∵拋物線C₂：y₂=a（x-2）²+k₂交x軸與點（0，0），
∴0=a（0-2）²+k₂，
∴4a+k₂=0，即k₂=-4a．
用同樣的方法可知，k₃=-16a，k₄=-64a，
按此規(guī)律可知，k_n與a、n的數(shù)量關(guān)系為：k_n=-4^n-1a．
②拋物線族的頂點坐標(biāo)S和T所滿足的函數(shù)關(guān)系式為：S=-aT²（T≥0）．

點評：考查了二次函數(shù)綜合題，主要利用了二次函數(shù)的對稱性，以及頂點坐標(biāo)，要結(jié)合圖形進行分析．