Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，點(diǎn).已知拋物線（是常數(shù)），頂點(diǎn)為.

（Ⅰ）當(dāng)拋物線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，求頂點(diǎn)的坐標(biāo)；

（Ⅱ）若點(diǎn)在軸下方，當(dāng)時(shí)，求拋物線的解析式；

（Ⅲ） 無論取何值，該拋物線都經(jīng)過定點(diǎn).當(dāng)時(shí)，求拋物線的解析式.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）或.

【解析】（Ⅰ）把點(diǎn)A（1，0）代入求出m的值，從而確定二次函數(shù)解析式，進(jìn)而求出頂點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（Ⅱ）先由函數(shù)解析式得出頂點(diǎn)坐標(biāo)為.再結(jié)合已知條件可知，從而求出，.再進(jìn)行分類討論得到拋物線解析式為；

（Ⅲ）由 可知，定點(diǎn)H的坐標(biāo)為，過點(diǎn)作，交射線于點(diǎn)，分別過點(diǎn)，作軸的垂線，垂足分別為，，則可證.得點(diǎn)的坐標(biāo)為或.然后進(jìn)行分類討論即可求解.

（Ⅰ）∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)，

∴，解得.

∴拋物線的解析式為.

∵ ，

∴頂點(diǎn)的坐標(biāo)為.

（Ⅱ）拋物線的頂點(diǎn)的坐標(biāo)為.

由點(diǎn)在軸正半軸上，點(diǎn)在軸下方，，知點(diǎn)在第四象限.

過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，則.

可知，即，解得，.

當(dāng)時(shí)，點(diǎn)不在第四象限，舍去.

∴.

∴拋物線解析式為.

（Ⅲ）由 可知，

當(dāng)時(shí)，無論取何值，都等于4.

得點(diǎn)的坐標(biāo)為.

過點(diǎn)作，交射線于點(diǎn)，分別過點(diǎn)，作軸的垂線，垂足分別為，，則.

∵，，

∴.∴.

∵ ，

∴.

∴.

∴，.

可得點(diǎn)的坐標(biāo)為或.

當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，可得直線的解析式為.

∵點(diǎn)在直線上，

∴.解得，.

當(dāng)時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)重合，不符合題意，∴.

當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，

可得直線的解析式為.

∵點(diǎn)在直線上，

∴ .解得（舍），.

∴.

綜上，或.

故拋物線解析式為或.