【題目】如圖 (1)所示,圓內(nèi)接△ABC中,AB=BC=CA,OD,OE為⊙O的半徑,OD⊥BC于點(diǎn)F,OE⊥AC于點(diǎn)G.
(1)求證陰影部分四邊形OFCG的面積是△ABC面積的;
(2)如圖 (2)所示,若∠DOE保持120°角度不變,求證當(dāng)∠DOE繞著O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí),由兩條半徑和△ABC的兩條邊圍成的圖形(圖中陰影部分)面積始終是△ABC的面積的.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2)證明見(jiàn)解析.
【解析】試題分析:(1)本題要依靠輔助線的幫助.連接OA,OC,證明Rt△OFC≌Rt△OGC≌Rt△OGA后求得S△OAC=SΔABC,易證SOFCG=SΔABC.
(2)本題有多種解法.連接OA,OB和OC,證明△AOC≌△COB≌△BOA,求出∠AOC以及∠DOE之間的關(guān)系即可.
解:(1)連接OA,OC,∵點(diǎn)O是等邊三角形ABC的外心,Rt△OFC≌Rt△OGC≌Rt△OGA,S四邊形OFCG=2S△OFC=S△OAC.∵S△OAC=S△ABC,∴S四邊形OFCG=S△ABC.
(2)證法1:如圖 (1)所示,連接OA,OB和OC,則△AOC≌△COB≌△BOA,∠1=∠2.不妨設(shè)OD交BC于點(diǎn)F,OE交AC于點(diǎn)G,∠AOC=∠3+∠4=120°,∠DOE=∠5+∠4=120°,∴∠3=∠5.在△OAG和△OCF中, ∴△OAG≌△OCF,∴S四邊形OFCG=S△AOC=S△ABC.證法2:如圖 (2)所示,不妨設(shè)OD交BC于點(diǎn)F,OE交AC于點(diǎn)G,作DH⊥BC,OK⊥AC,垂足分別為點(diǎn)H,K.在四邊形HOKC中,∠OHC=∠OKC=90°,∠C=60°,∴∠HOK=360°-90°-90°-60°=120°,即∠1+∠2=120°.又∵∠GOF=∠2+∠3=120°∴∠1=∠3.∵AC=BC,∴OH=OK.又∠OHF=∠OKG=90°.∴△OFH≌△OGK,∴S四邊形OFCG=S四邊形OHCK=S△ABC.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,直線l:y=2x+4
(1)①直接寫出直線l關(guān)于y軸對(duì)稱的直線l1的解析式_______.
②直接寫出直線l向右平移2個(gè)單位得到的直線l2的解析式________.
(2)在(1)的基礎(chǔ)上,點(diǎn)M是x軸上一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)M作x軸的垂線交直線l1于點(diǎn)Q、交直線l2于點(diǎn)P.若PM=2PQ,求M點(diǎn)的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為了維護(hù)海洋權(quán)益,新組建的國(guó)家海洋局加大了在南海的巡邏力度。一天,我兩艘海監(jiān)船剛好在我某島東西海岸線上的A、B兩處巡邏,同時(shí)發(fā)現(xiàn)一艘不明國(guó)籍的船只停在C處海域。如圖所示,AB=60海里,在B處測(cè)得C在北偏東45的方向上,A處測(cè)得C在北偏西30的方向上,在海岸線AB上有一燈塔D,測(cè)得AD=120海里。
(1)分別求出A與C及B與C的距離AC,BC(結(jié)果保留根號(hào))
(2)已知在燈塔D周圍100海里范圍內(nèi)有暗礁群,我在A處海監(jiān)船沿AC前往C處盤查,途中有無(wú)觸礁的危險(xiǎn)?
(參考數(shù)據(jù):=1.41,=1.73,=2.45)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】底邊長(zhǎng)為6厘米,高為9厘米的等腰三角形20個(gè),迭放如圖:
每?jī)蓚(gè)等腰三角形有等距離的間隔,底邊迭合在一起的長(zhǎng)度是44厘米.回答下列問(wèn)題:
(1)兩個(gè)三角形的間隔距離;
(2)三個(gè)三角形重迭(兩次)部分的面積之和;
(3)只有兩個(gè)三角形重迭(一次)部分的面積之和;
(4)迭到一起的總面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,弦CD⊥AB于點(diǎn)G,點(diǎn)F是CD上一點(diǎn),且滿足 = ,連接AF并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)E,連接AD、DE,若CF=2,AF=3.
(1)求證:△ADF∽△AED;
(2)求FG的長(zhǎng);
(3)求證:tan∠E= .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知,如圖,△ABC內(nèi)接于⊙O,AB=AC,∠BAC=36°,AB、AC的中垂線分別交⊙O于點(diǎn)E、F,證明:五邊形AEBCF是⊙O的內(nèi)接正五邊形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中.
(1)寫出、、三點(diǎn)的坐標(biāo):
( ),( ),( );
(2)的面積為_______.
(3)聯(lián)結(jié),在平面直角坐標(biāo)系中找一個(gè)點(diǎn),使為等腰直角三角形,且以為直角邊,則的坐標(biāo)是________(直接寫答案).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某市高中招生體育考試前教育部門為了解全市九年級(jí)男生考試項(xiàng)目的選擇情況(每人限選一項(xiàng)),對(duì)全市部分九年級(jí)男生進(jìn)行了調(diào)查,將調(diào)查結(jié)果分成五類:A、實(shí)心球(2kg);B、立定跳遠(yuǎn);C、50米跑;D、半場(chǎng)運(yùn)球;E、其它.并將調(diào)查結(jié)果繪制成以下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖,請(qǐng)你根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖解答下列問(wèn)題:
(1)將上面的條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整;
(2)假定全市九年級(jí)畢業(yè)學(xué)生中有5500名男生,試估計(jì)全市九年級(jí)男生中選“50米跑”的人數(shù)有多少人?
(3)甲、乙兩名九年級(jí)男生在上述選擇率較高的三個(gè)項(xiàng)目:B、立定跳遠(yuǎn);C、50米跑;D、半場(chǎng)運(yùn)球中各選一項(xiàng),同時(shí)選擇半場(chǎng)運(yùn)球和立定跳遠(yuǎn)的概率是多少?請(qǐng)用列表法或畫樹(shù)形圖的方法加以說(shuō)明并列出所有等可能的結(jié)果.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】暖羊羊有5張寫著不同數(shù)字的卡片,請(qǐng)你按要求選擇卡片,完成下列各問(wèn)題:
(1)從中選擇兩張卡片,使這兩張卡片上數(shù)字的乘積最大.
這兩張卡片上的數(shù)字分別是 ,積為 _.
(2)從中選擇兩張卡片,使這兩張卡片上數(shù)字相除的商最小.
這兩張卡片上的數(shù)字分別是 ,商為 .
(3)從中選擇4張卡片,每張卡片上的數(shù)字只能用一次,選擇加、減、乘、除中的適當(dāng)方法(可加括號(hào)),使其運(yùn)算結(jié)果為24,寫出運(yùn)算式子.(寫出一種即可)
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