Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，如果等邊三角形的一邊與軸平行或在軸上，則稱這個(gè)等邊三角形為水平正三角形．

（1）已知，，若是水平正三角形，則點(diǎn)坐標(biāo)的是_____（只填序號(hào)）；①，②，③，④

（2）已知點(diǎn)，，，以這三個(gè)點(diǎn)中的兩個(gè)點(diǎn)及平面內(nèi)的另一個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)，構(gòu)成一個(gè)水平正三角形，則這兩個(gè)點(diǎn)是　 ，并求出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）已知的半徑為，點(diǎn)是上一點(diǎn)，點(diǎn)是直線上一點(diǎn)，若某個(gè)水平正三角形的兩個(gè)頂點(diǎn)為，，直接寫出點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）點(diǎn)坐標(biāo)的是②，④；（2）或；（3）點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍為或或．

【解析】

（1）利用勾股定理求出的長，即可知道的坐標(biāo)；

（2）因?yàn)槭且粋�(gè)水平正三角形，則這兩個(gè)點(diǎn)是，，連接，所以與軸正方向夾角為，然后分①當(dāng)點(diǎn)在線段的左側(cè)時(shí)和②當(dāng)點(diǎn)在線段的右側(cè)時(shí)兩種情況討論；

（3）分三種情況：①當(dāng)與軸平行或重合時(shí)；②當(dāng)與軸的負(fù)半軸夾角為時(shí)；③當(dāng)與軸的正半軸夾角為時(shí)；根據(jù)水平正三角形的性質(zhì)求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍即可．

（1）∵，，

∴，，

∴，

當(dāng)點(diǎn)在軸上方時(shí)，，

當(dāng)點(diǎn)在軸下方時(shí)，，

則點(diǎn)坐標(biāo)的是②，④；

（2）因?yàn)槭且粋�(gè)水平正三角形，則這兩個(gè)點(diǎn)是，，連接，如圖1所示：

∴與軸正方向夾角為．

①當(dāng)點(diǎn)在線段的左側(cè)時(shí)，

點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，

∴，

②當(dāng)點(diǎn)在線段的右側(cè)時(shí)，

點(diǎn)在軸上且，

∴．

∴或；

（3）分三種情況：

①當(dāng)與軸平行或重合時(shí)，如圖2所示：

為的直徑，直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為、，

則，，，

作軸交直線于，作軸交直線于，

則在線段上，，

∴，

同理：，

∴；

②當(dāng)與軸的負(fù)半軸夾角為時(shí)，如圖3所示：

作直線于，作直徑，作、，分別交于、，

作于，作于，

則在線段上，，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴；

同理：，

∴；

③當(dāng)與軸的正半軸夾角為時(shí)，如圖4所示：

同②得：．

綜上所述，點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍為或或．