Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，直線y=﹣ x+3與坐標軸交于A，B兩點，設P，Q分別為AB邊，OB邊上的動點，它們同時分別從點A，點O以每秒1個單位速度向終點B勻速移動，當一個點到達終點時另一個點也停止移動，設移動時間為t秒．

（1）請寫出點A，點B的坐標；
（2）試求△OPQ的面積S與移動時間t之間的函數(shù)關(guān)系式，當t為何值時，S有最大值？并求出S的最大值；
（3）試證明無論t為何值，△OPQ都不會是等邊三角形；
（4）將△OPQ沿直線PQ折疊，得到△O′PQ，問：△OPQ和O′PQ能否拼成一個三角形？若能，求出點O′的坐標；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：當x=0時，y=3，即A（0.3），當y=0時，﹣ x+3=0，即B（4，0）；

（2）

解：如圖1：作PD⊥x軸于D．

，

OQ=t，AP=t，PB=5﹣t，

sin∠B= = ，

PD=PBsin∠B= （5﹣t），

S= OQPD= t（5﹣t）=﹣ t2+ t，

當t= 時，s最大= ；

（3）

證明：∵OP=OQ=AP=PQ，∠POQ=∠OPQ=60°，

∴∠AOP=∠PAO=30°，

∴∠APO=120°，

∴∠BPQ=60°與∠OPQ=60°矛盾，

∴∠OPQ≠60°，即△OPQ都不會是等邊三角形；

（4）

解：△OPQ和O′PQ不能拼成一個三角形，理由如下：

如圖2，作PE⊥y軸于E點．

，

∵AP=OQ＞PE，

∴PQ∥y軸，

∴O點關(guān)于PQ的對稱點O′不在x軸上，

∴O、Q、O′不在同一條直線上，

∴OPO′Q是四邊形，

△OPQ和O′PQ不能拼成一個三角形．

【解析】（1）根據(jù)自變量與函數(shù)值的對應關(guān)系，可得答案；（2）根據(jù)三角函數(shù)，可得PD的長，根據(jù)三角形的面積公式，可得函數(shù)解析式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得答案；（3）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，可得∠POQ=∠OPQ=60°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，可得∠APO=120°，再根據(jù)鄰補角，可得∠QPB的度數(shù)，根據(jù)∠QPB與∠OPQ的關(guān)系，可得答案；（4）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，可得O點關(guān)于PQ的對稱點O′不在x軸上，根據(jù)四邊形的定義，可得答案．
【考點精析】認真審題，首先需要了解等腰三角形的性質(zhì)(等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角）)，還要掌握軸對稱的性質(zhì)(關(guān)于某條直線對稱的兩個圖形是全等形；如果兩個圖形關(guān)于某直線對稱，那么對稱軸是對應點連線的垂直平分線；兩個圖形關(guān)于某直線對稱，如果它們的對應線段或延長線相交，那么交點在對稱軸上)的相關(guān)知識才是答題的關(guān)鍵．