Question

【題目】設(shè)在一個變化過程中有兩個變量x與y，如果對于x的每一個值，y都有唯一確定的值和它對應(yīng)，那么就說y是x的函數(shù)，記作y=f（x）．在函數(shù)y=f（x）中，當(dāng)自變量x=a時，相應(yīng)的函數(shù)值y可以表示為f（a）．
例如：函數(shù)f（x）=x2﹣2x﹣3，當(dāng)x=4時，f（4）=42﹣2×4﹣3=5在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對于函數(shù)的零點(diǎn)給出如下定義：
如果函數(shù)y=f（x）在a≤x≤b的范圍內(nèi)對應(yīng)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，并且f（a）．f（b）＜0，那么函數(shù)y=f（x）在a≤x≤b的范圍內(nèi)有零點(diǎn)，即存在c（a≤c≤b），使f（c）=0，則c叫做這個函數(shù)的零點(diǎn)，c也是方程f（x）=0在a≤x≤b范圍內(nèi)的根．
例如：二次函數(shù)f（x）=x2﹣2x﹣3的圖象如圖1所示．

觀察可知：f（﹣2）＞0，f（1）＜0，則f（﹣2）．f（1）＜0．所以函數(shù)f（x）=x2﹣2x﹣3在﹣2≤x≤1范圍內(nèi)有零點(diǎn)．由于f（﹣1）=0，所以，﹣1是f（x）=x2﹣2x﹣3的零點(diǎn)，﹣1也是方程x2﹣2x﹣3=0的根．
（1）觀察函數(shù)y1=f（x）的圖象2，回答下列問題：
①f（a）f（b） 0（“＜”“＞”或“=”）
②在a≤x≤b范圍內(nèi)y1=f（x）的零點(diǎn)的個數(shù)是 ．
（2）已知函數(shù)y2=f（x）=﹣ 的零點(diǎn)為x1 ， x2 ， 且x1＜1＜x2 ．
①求零點(diǎn)為x1 ， x2（用a表示）；
②在平面直角坐標(biāo)xOy中，在x軸上A，B兩點(diǎn)表示的數(shù)是零點(diǎn)x1 ， x2 ， 點(diǎn) P為線段AB上的一個動點(diǎn)（P點(diǎn)與A、B兩點(diǎn)不重合），在x軸上方作等邊△APM和等邊△BPN，記線段MN的中點(diǎn)為Q，若a是整數(shù)，求拋物線y2的表達(dá)式并直接寫出線段PQ長的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）＜；1
（2）

解：①∵x1、x2是零點(diǎn)

∴當(dāng)y=0時，即﹣ =0．

方程可化簡為 x2+2（a﹣1）x+（a2﹣2a）=0．

解方程，得x=﹣a或x=﹣a+2．

∵x1＜1＜x2，﹣a＜﹣a+2，

∴x1=﹣a，x2=﹣a+2．

②∵x1＜1＜x2，

∴﹣a＜1＜﹣a+2．

∴﹣1＜a＜1．

∵a是整數(shù)，

∴a=0，所求拋物線的表達(dá)式為y=﹣ x2+2 ．

此時頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為C（1， ）如圖2，

，

作CD⊥AB于D，連接CQ，

則AD=1，CD= ，tan∠BAC= ，

∴∠BAC=60°

由拋物線的對稱性可知△ABC是等邊三角形；

由△APM和△BPN是等邊三角形，線段MN的中點(diǎn)為Q可得，

點(diǎn)M、N分別在AC和BC邊上，四邊形PMCN的平行四邊形，

C、Q、P三點(diǎn)共線，且PQ= PC；

∵點(diǎn)P線段AB上運(yùn)動的過程中，P與A、B兩點(diǎn)不重合，

DC≤PC＜AC，DC= ，AC=2，

即 ≤PQ＜ ，

∴ ≤PQ＜1；

線段PQ的長的取值范圍為： ≤PQ＜1

【解析】解：（1）①由圖象1，得f（a）f（b）＜0，

②在a≤x≤b范圍內(nèi)y1=f（x）的零點(diǎn)的個數(shù)是 1．
所以答案是：＜，1；