Question

（本題滿分10分）

如圖1，△ABC中，∠BAC=100°，AB=AC，P為BC邊上任意一點.

若點E、F分別在AB、AC上，且∠EPF=40°，求證：△BPE∽△CFP；

如圖2，點P在邊CB的延長線上，點E在邊AB上，點F在邊AC的延長線上，仍有∠EPF=40°，探索PB·PC與BE·CF有怎樣的關(guān)系？并說明理由.

Answer 1

（1）證明見解析；

（2）PB·PC=BE·CF，理由見解析.

【解析】

試題分析：（1）由已知條件可得∠B=∠C=40°，由∠EPC=∠B+∠BEP，得∠EPF+∠FPC=∠B+∠BEP，而∠EPF=∠B=40°，從而可得∠FPC=∠BEP，從而得到△BPE∽△CFP；

（2）同（1）的道理類似，可得△BPE∽△CFP，從而可得，即PB·PC=BE·CF.

試題解析：（1）∵△ABC中，∠BAC=100°，AB=AC，∴∠B=∠C=40°，∵∠EPC=∠B+∠BEP，∴∠EPF+∠FPC=∠B+∠BEP，又∵∠EPF=∠B=40°，∴∠FPC=∠BEP，∴△BPE∽△CFP；

相等，理由如下：

∵∠EBC=∠EPB+∠BEP，∴∠EPF=∠EPB+∠CPF，又∵∠EPF=∠B=40°，∴∠BEP=∠CPF，∵∠ABC=∠ACB，

∴∠EBP=∠PCF，∴△BPE∽△CFP，∴，∴PB·PC=BE·CF.

考點：相似三角形的判定與性質(zhì).