Question

已知a、b是正數(shù)，且a+b=2，則

a2+1

+

b2+4

的最小值=______．

Answer 1

∵a+b=2，
∴b=2-a，代入

a2+1

+

b2+4

，
得：

a2+1

+

(2-a)2+22

，
構(gòu)造如下圖形，如圖，其中ED=2，AE=2，BD=1，AE⊥l，BD⊥l，
作出A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)C，連接BC與直線l交于點(diǎn)P，此時(shí)AP+PB最短．
延長(zhǎng)BD，過(guò)C作CF垂直于BC的延長(zhǎng)線，垂足為F，
設(shè)PD=a，可得ED=2-a，
在Rt△AEP中，根據(jù)勾股定理得：
AP=

(2-a)2+22

，BP=

a2+1

，
則

a2+1

+

(2-a)2+22

=AP+BP，
當(dāng)B、P、C三點(diǎn)共線時(shí)，因?yàn)橹本�l為線段AC的垂直平分線，
則AP+BP=CP+PB=BC，此時(shí)BC的長(zhǎng)即為所求式子的最小值，
此時(shí)在Rt△CBF中，DF=EC=AE=2，故BF=BD+DF=1+2=3，CF=ED=2，
由勾股定理可求得BC=

22+(2+1)2

=

13

，
則

a2+1

+

b2+4

的最小值為

13

．