Question

如圖，矩形ABCD的對角線AC的垂直平分線EF與AD、AC、BC分別交于點E、O、F．
（1）求證：四邊形AECF是菱形；
（2）若AB=4，AD=8，EF=2

5

，求四邊形AECF的面積．

Answer 1

考點：菱形的判定與性質(zhì),矩形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)平行四邊形性質(zhì)推出AD∥BC，根據(jù)平行線分線段成比例定理求出OE=OF，推出平行四邊形AFCE，根據(jù)菱形的判定推出即可；
（2）由矩形的性質(zhì)得到∠B為直角，在直角三角形ABC中，由AB與BC的長，利用勾股定理求出AC的長，又已知EF的長，而AC與EF為菱形AFCE的兩條對角線，根據(jù)對角線乘積的一半即可求出菱形的面積．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，
∴

AO

CO

=

EO

FO

，
∵EF是AC的垂直平分線，
∴AO=OC，
∴OE=OF，
∴四邊形AFCE是平行四邊形，
∵EF⊥AC，
∴平行四邊形AFCE是菱形．

（2）在矩形ABCD中，BC=AD=8，則
在Rt△ABC中，由AB=4，BC=8，
根據(jù)勾股定理得：AC=

AB2+BC2

=

42+82

=4

5

，又EF=2

5

，
故菱形AFCE的面積S=

1

2

AC•EF=

1

2

×4

5

×2

5

=20．

點評：本題考查了平行線分線段成比例定理，平行四邊形的性質(zhì)，菱形的判定等知識點的運用，關鍵是根據(jù)題意推出OE=OF，題目比較典型，難度適中．