Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O（0，0），點(diǎn)A（1，0）．已知拋物線y＝x2+mx﹣2m（m是常數(shù)），頂點(diǎn)為P．

（Ⅰ）當(dāng)拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，求頂點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（Ⅱ）若點(diǎn)P在x軸下方，當(dāng)∠AOP＝45°時(shí)，若函數(shù)值y＞0，求對(duì)應(yīng)自變量x的取值范圍；

（Ⅲ）無(wú)論m取何值，該拋物線都經(jīng)過(guò)定點(diǎn)H．當(dāng)∠AHP＝45°時(shí)，求拋物線的解析式．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）頂點(diǎn)P（﹣，﹣）；（Ⅱ）當(dāng)函數(shù)值y＞0，對(duì)應(yīng)自變量x的取值范圍為x＜5﹣或x＞5+；（Ⅲ）拋物線解析式為y＝x2﹣x+或y＝x2﹣x+．

【解析】

（Ⅰ）把點(diǎn)A代入拋物線解析式求得m，將拋物線配方成頂點(diǎn)式即求得P的坐標(biāo)．

（Ⅱ）由點(diǎn)P在x軸下方，當(dāng)∠AOP＝45°得點(diǎn)P在直線y＝x上．把拋物線配方得用m表示的點(diǎn)P坐標(biāo)，代入y＝x即求得m的值．令拋物線y＝0解方程求得拋物線與x軸兩交點(diǎn)坐標(biāo)，由圖象可知，在拋物線兩側(cè)有函數(shù)值y＞0，即得到x的取值范圍．

（Ⅲ）發(fā)現(xiàn)當(dāng)x＝2時(shí)，y＝4，所以定點(diǎn)H（2，4）．過(guò)點(diǎn)AA作AB⊥PH于點(diǎn)B，過(guò)點(diǎn)B作DC⊥x軸于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)H作HD⊥CD于點(diǎn)D，構(gòu)造△ABC≌△BHD，利用對(duì)應(yīng)邊AC＝BD，BC＝HD求點(diǎn)B坐標(biāo)，再求直線BH解析式，把點(diǎn)用m表示的點(diǎn)P坐標(biāo)代入BH解析式即求得m的值．由于滿足∠AHP＝45°的點(diǎn)P可以在AH左側(cè)或右側(cè)，故需分情況討論．

（Ⅰ）把A（1，0）代入y＝x2+mx﹣2m得：

1+m﹣2m＝0，解得：m＝1

∴拋物線解析式為y＝x2+x﹣2＝（x+）2﹣

∴頂點(diǎn)P（﹣，﹣），

（Ⅱ）過(guò)P作PH⊥x軸于點(diǎn)H，如圖1

∵點(diǎn)P在x軸下方且∠AOP＝45°

∴△POH是等腰直角三角形，P在第四象限

∴OH＝PH，

∵y＝x2+mx﹣2m＝（x+）2﹣﹣2m

∴P（﹣，﹣﹣2m）（m＜0）

∴﹣＝+2m

解得：m1＝0（舍去），m2＝﹣10

∴拋物線解析式為y＝x2﹣10x+20

當(dāng)y＝0時(shí)，解得：x1＝5﹣，x2＝5+

由圖象可知，當(dāng)函數(shù)值y＞0，對(duì)應(yīng)自變量x的取值范圍為x＜5﹣或x＞5+．

（Ⅲ）當(dāng)x＝2時(shí)，y＝4+2m﹣2m＝4

∴無(wú)論m取何值，該拋物線都經(jīng)過(guò)定點(diǎn)H（2，4）

過(guò)點(diǎn)A作AB⊥PH于點(diǎn)B，過(guò)點(diǎn)B作DC⊥x軸于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)H作HD⊥CD于點(diǎn)D，

∴∠ABH＝∠ACB＝∠BDH＝90°

∴∠ABC+∠DBH＝∠ABC+∠BAC＝90°

∴∠BAC＝∠DBH

∵∠AHP＝45°

∴△ABH是等腰直角三角形，AB＝BH

在△ABC與△BHD中

∴△ABC≌△BHD（AAS）

∴AC＝BD，BC＝HD

設(shè)點(diǎn)B坐標(biāo)為（a，b）

①若點(diǎn)P在AH左側(cè)，即點(diǎn)B在AH左側(cè)，如圖2

∴AC＝1﹣a，BC＝b，BD＝4﹣b，DH＝2﹣a

∴ 解得：

∴點(diǎn)B（﹣，）

設(shè)直線BH解析式為y＝kx+h

∴ 解得：

∴直線BH：y＝x+

∵點(diǎn)P（﹣，﹣﹣2m）在直線BH上

∴（﹣）+＝﹣﹣2m

解得：m1＝﹣，m2＝﹣4

∵m＝﹣4時(shí)，P（2，4）與點(diǎn)H重合，要舍去

∴拋物線解析式為y＝x2﹣x+，

②若點(diǎn)P在AH右側(cè)，即點(diǎn)B在AH右側(cè)，如圖3

∴AC＝a﹣1，BC＝b，BD＝4﹣b，DH＝a﹣2

∴ 解得：

∴點(diǎn)B（，）

設(shè)直線BH解析式為y＝kx+h

∴ 解得：

∴直線BH：y＝﹣x+

∵點(diǎn)P（﹣，﹣﹣2m）在直線BH上

∴﹣×（﹣）+＝﹣﹣2m

解得：m1＝﹣，m2＝﹣4（舍去）

∴拋物線解析式為y＝x2﹣x+

綜上所述，拋物線解析式為y＝x2﹣x+或y＝x2﹣x+.