Question

在?ABCD中，AB=1，BC=2，∠B=45°，M為AB的中點．
（1）求tan∠CMD的值；
（2）設(shè)N為CD中點，CM交BN于K，求

BK

KN

及S_△BKC的值．

Answer 1

考點：平行四邊形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),解直角三角形

專題：常規(guī)題型

分析：（1）過點M作MF⊥BC于F，交DA的延長線于E，作DG⊥MC交MC的延長線于G，
①求出ME，MF，BF的長，
②求出MC的長，
③求出?ABCD的面積，△MCD的面積，
④由△MCD的面積，求出DG的長，
⑤由勾股定理求出CG的長，
⑥求出MG的長，
⑦在Rt△MDG中，求出tan∠CMD的值．
（2）易證明△KBM≌△KNC，∴BK=BN，∴

BK

KN

=1，
S△BKC=

1

2

S△BMC=

1

8

S?ABCD=

2

8

．

解答：解：（1）過點M作MF⊥BC于F，交DA的延長線于E，作DG⊥MC交MC的延長線于G，
∵在?ABCD中，AB=1，BC=2，∠B=45°，M為AB的中點．
∴BM=AM=

1

2

，∠EAM=∠B=45°，
∴△AEM、△BFM是等腰直角三角形，
∴AE=EM=BF=MF=

2

4

，
∴DE=AD+AE=2+

2

4

，CF=2-

2

4

，
∴CM=

MF2+CF2

=

17 4 - 2

=

17-4 2

2

，
∵AE=EM=BF=MF=

2

4

，
∴EF=EM+FM=

2

2

，
∴S?ABCD=AD•EF=

2

，
∵點M是AB的中點，
∴S△MCD=\

1

2

S?ABCD=

2

2

，
∵S△MCD=

1

2

•MC•DG，
∴DG=

2 2

17-4 2

，
在Rt△CDG中，由勾股定理得：
CG=

CD2-DG2

=

2 2 -1

17-4 2

，
∴MG=MC+CG=

17-4 2

2

+

2 2 -1

17-4 2

=

15 17-4 2

2(17-4 2 )

，
在Rt△MDG中，
tan∠CMD=

DG

MG

=

4 2

15

．


（2）在?ABCD中，M為AB的中點，N為CD中點，
∴BM=CN，
∵AB∥CD，
∴∠MBK=∠CNK，∠BMK=NCK，
在△BMK和△NCK中，

∠MBK=∠CNK BM=CN ∠BMK=∠NCK

，
∴△BMK≌△NCK（ASA）
∴BK=NK，MK=CK，
∴

BK

KN

=1．
∵MK=CK，
∴S△BKC=

1

2

S_△BCM=

1

8

S?ABCD=

2

8

．

點評：此題主要考查學生對平行四邊形的性質(zhì)的理解及運用能力．計算太繁瑣．