Question

如圖①，已知線段AB=8，以AB為直徑作半圓O，再以O(shè)A為直徑作半圓C，P是半圓C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（P與點(diǎn)A，O不重合），AP的延長(zhǎng)線交半圓O于點(diǎn)D．
（1）判斷線段AP與PD的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（2）連接PC，當(dāng)∠ACP=60°時(shí)，求弧AD的長(zhǎng)；
（3）過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB，垂足為E（如圖②），設(shè)AP=x，OE=y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出x的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題

專(zhuān)題：

分析：（1）AP=PD．理由如下：如圖①，連接OP．利用圓周角定理知OP⊥AD．然后由等腰三角形“三合一”的性質(zhì)證得AP=PD；
（2）如圖①，連接PC、OD．通過(guò)證PC∥OD推知∠AOD=∠ACP=60°，所以根據(jù)弧長(zhǎng)公式得到：弧AD的長(zhǎng)=

60×π×4

180

=

4

3

π；
（3）分類(lèi)討論：點(diǎn)E落在線段OA和線段OB上，這兩種情況下的y與x的關(guān)系式．這兩種情況都是根據(jù)相似三角形（△APO∽△AED）的對(duì)應(yīng)邊成比例來(lái)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式的．

解答：解：（1）AP=PD
理由如下：連接OP、OD．
∵OA是半圓C的直徑，
∴∠APO=90°，即OP⊥AD．
又∵OA=OD，
∴AP=PD；

（2）如圖①，連接PC、OD．
由（1）知，AP=PD．
又∵AC=OC，
∴PC∥OD，
∴∠AOD=∠ACP=60°，
∵AB=8，∴OA=4
∴弧AD的長(zhǎng)=

60×π×4

180

=

4

3

π；

（3）分兩種情況：①如圖②，當(dāng)點(diǎn)E落在OA上（即0＜x≤2

2

時(shí)）
連接OP，則∠APO=∠AED
又∵∠A=∠A
∴△APO∽△AED
∴

AP

AE

=

AO

AD

∵AP=x，AO=4，AD=2x，AE=4-y
∴

x

4-y

=

4

2x

∴y=-

1

2

x²+4（0＜x≤2

2

）    
②如備用圖，當(dāng)點(diǎn)E落在線段OB上（即2

2

＜x＜4）時(shí)，連接OP
同①可得，△APO∽△AED
∴

AP

AE

=

AO

AD

∵AP=x，AO=4，AD=2x，AE=4+y
∴

x

4+y

=

4

2x

∴y=

1

2

x²-4（2

2

＜x＜4）．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了圓周角定理、圓的切線的性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)．解答（3）題時(shí)，要分類(lèi)討論，以防漏解．解答幾何問(wèn)題時(shí)，要數(shù)形結(jié)合，使抽象的問(wèn)題變得形象化，降低題的難度與梯度．