【題目】如圖,在梯形ABCD中,ADBC,ABCD,BC10,對(duì)角線(xiàn)AC、BD相交于點(diǎn)O,且ACBD,設(shè)ADx,△AOB的面積為y

1)求∠DBC的度數(shù);

2)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式,并寫(xiě)出自變量x的取值范圍;

3)如圖1,設(shè)點(diǎn)P、Q分別是邊BC、AB的中點(diǎn),分別聯(lián)結(jié)OP,OQPQ.如果△OPQ是等腰三角形,求AD的長(zhǎng).

【答案】1)∠DBC45;(2yxx0);(3)滿(mǎn)足條件的AD的值為1010

【解析】

1)過(guò)點(diǎn)DAC的平行線(xiàn)DE,與BC的延長(zhǎng)線(xiàn)交于E點(diǎn),只要證明BDE是等腰直角三角形即可解決問(wèn)題;

2)由(1)可知:BOC,AOD都是等腰直角三角形,由題意OA=x,OB=5,根據(jù)y=OAOB計(jì)算即可;

3)分三種情形討論即可解決問(wèn)題;

1)過(guò)點(diǎn)DAC的平行線(xiàn)DE,與BC的延長(zhǎng)線(xiàn)交于E點(diǎn).

∵梯形ABCD中,ADBC,ACDE,

∴四邊形ACED為平行四邊形,ACDE,ADCE,

ABCD

∴梯形ABCD為等腰梯形,

ACBD,

BDDE,

ACBD,

∴∠BOC90°

ACDE

∴∠BDE90°,

∴△BDE是等腰直角三角形,

∴∠DBC45°.

2)由(1)可知:△BOC,△AOD都是等腰直角三角形,

ADxBC10,

OAxOB5,

y

3)如圖2中,

當(dāng)PQPOBC5時(shí),

AQQB,BPPC5

PQAC,PQAC

AC10,∵OC5

OA105,

ADOA1010

當(dāng)OQOP5時(shí),AB2OQ10,此時(shí)ABBC,∠BAC=∠BCA45°,

∴∠ABC90°,同理可證:∠DCB90°,

∴四邊形ABCD是矩形,不符合題意,此種情形不存在.

當(dāng)OQPQ時(shí),AB2OQ,AC2PQ,

ABAC,

∴∠ABC=∠ACB45°,

∴∠BAC90°=∠BOC,顯然不可能,

綜上所述,滿(mǎn)足條件的AD的值為1010

練習(xí)冊(cè)系列答案
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1)點(diǎn)上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為   ,在上運(yùn)動(dòng)的速度為  

2)設(shè)的面積為,求當(dāng)點(diǎn)上運(yùn)動(dòng)時(shí),之間的函數(shù)解析式;

3)①下列圖表示的面積與時(shí)間之間的函數(shù)圖象是  

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(2)求證:FC=FB;

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x是矩形的一邊長(zhǎng),y是這個(gè)矩形的周長(zhǎng);

x是一個(gè)正數(shù),y是這個(gè)正數(shù)的平方根;

x是一個(gè)正數(shù),y是這個(gè)正數(shù)的算術(shù)平方根.

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;

;

;

_______________;

_______________

…… ……

2)通過(guò)猜想,寫(xiě)出與第n個(gè)圖形相對(duì)應(yīng)的等式:____________________,并說(shuō)明你猜想的正確性(寫(xiě)出說(shuō)明過(guò)程).

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