【題目】已知一個直角三角形紙片OAB,其中∠AOB=90°,OA=2,OB=4.如圖,將該紙片放置在平面直角坐標系中,折疊該紙片,折痕與邊OB交于點C,與邊AB交于點D.

(1)若折疊后使點B與點A重合,求點C的坐標.

(2)若折疊后點B落在邊OA上的點為B′,是否存在點B′,使得四邊形BCB′D是菱形?若存在,請說明理由并求出菱形的邊長;若不存在,請說明理由.

【答案】(1)C(0,1.5);(2)存在點B',使得四邊形BCB'D是菱形,此時菱形的邊長為20﹣8

【解析】

(1)折疊后使點B與點A重合,則CAB的中垂線上,Rt△AOC中利用勾股定理即可得到方程,求得C的坐標;
(2)當B'C∥AB(或B'D∥BO)時,四邊形BCB'D是菱形,則△OB'C∽△OAB,依據(jù)相似三角形的對應邊的比相等即可求得B′C的長度,然后根據(jù)△AB'D∽△AOB,即可求得B′D的長.從而證得B'C=BC=B'D=BD.

(1)設C(0,m),(m>0),

CO=m,

BC=AC=(4﹣m),

Rt△AOC中,有(4﹣m)2﹣m2=4,

整理得,12m=8,

∴m=1.5,

∴C(0,1.5);

(2)存在,當B'C∥AB(或B'D∥BO)時,四邊形BCB'D是菱形,

∵∠AOB=90°,OA=2,OB=4,

∴AB=2,

∵B'C∥AB,

∴△OB'C∽△OAB,

,

B'C=BC=x,則,

解得,x=2,

∵B'C∥AB,

∴∠CBD+∠BCB'=180°,

∵∠CBD=∠CB'D,

∴∠CB'D+∠BCB'=180°,

∴B'D∥BO,

∴△AB'D∽△AOB,

,

B'D=BD=y,

,

解得:y=20﹣8

∴B'C=BC=B'D=BD,

四邊形BCB'D是菱形,

存在點B',使得四邊形BCB'D是菱形,此時菱形的邊長為20﹣8

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7

9

8

6

10

7

9

8

6

10

7

8

9

8

8

6

8

9

7

10

根據(jù)測試成績,你認為選擇哪一名運動員參賽更好?為什么?

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組別

成績x(分數(shù))

組中值

頻數(shù)(人數(shù))

1

90≤x<100

95

10

2

80≤x<90

85

25

3

70≤x<80

75

12

4

60≤x<70

65

3


(1)完成頻數(shù)分布直方圖;
(2)這個樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)在第組;
(3)若將各組的組中值視為該組的平均成績,則此次測試的平均成績?yōu)?/span>;
(4)若將90分以上(含90分)定為“優(yōu)秀”等級,則該縣10000名初中生中,獲“優(yōu)秀”等級的學生約為人.

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方案代號

月租費(元)

免費時間(分)

超過免費時間的通話費(元/分)

10

0

0.20

30

80

0.15


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