Question

如圖，矩形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于E，∠CAE=15°，則下列結論：
①△ODC是等邊三角形；②BC=2AB；③∠AOE=135°；④S_△AOE=S_△COE，
其中正確的結論的序號是

 

．

Answer 1

考點：矩形的性質

專題：

分析：根據(jù)角平分線的定義可得∠BAE=45°，然后求出∠BAO=60°，再根據(jù)矩形的對角線互相平分且相等可得OA=OB，然后判斷出△AOB是等邊三角形，然后求出△ODC也是等邊三角形，判斷出①正確；求出AC=2AB，再根據(jù)垂線段最短可得BC＜AC，判斷出②錯誤；判斷出△ABE是等腰直角三角形，然后求出AB=BE，再求出BO=BE，根據(jù)等腰三角形兩底角相等求出∠BOE=75°，然后求出∠AOE=135°，判斷出③正確；根據(jù)等底等高的三角形的面積相等可得S_△AOE=S_△COE，判斷出④正確．

解答：解：∵矩形ABCD中，AE平分∠BAD，
∴∠BAE=45°，
∵∠CAE=15°，
∴∠BAO=∠BAE+∠CAE=45°+15°=60°，
又∵矩形中OA=OB=OC=OD，
∴△AOB是等邊三角形，
∴∠AOB=∠COD=60°，
∴△ODC是等邊三角形，故①正確；
由等邊三角形的性質，AB=OA，
∴AC=2AB，
由垂線段最短BC＜AC，
∴BC＜2AB，故②錯誤；
∵∠BAE=45°，∠ABE=90°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴AB=BE，
∴BO=BE，
∵∠COB=180°-60°=120°，
∴∠BOE=

1

2

（180°-30°）=75°，
∴∠AOE=∠AOB+∠BOE=60°+75°=135°，故③正確；
∵△AOE和△COE的底邊AO=CO，點E到AC的距離相等，
∴S_△AOE=S_△COE，故④正確；
綜上所述，正確的結論是①③④．
故答案為：①③④．

點評：本題考查了矩形的性質，等邊三角形的判定與性質，等腰三角形的性質，垂線段最短，等底等高的三角形的面積相等，綜合題，但難度不大，熟記性質并準確識圖理清圖中各角度之間的關系是解題的關鍵．