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【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,以AB為直徑作半圓⊙O,交BC于點D,連接AD、過點D作DE⊥AC,垂足為點E,交AB的延長線于點F.

(1)求證:EF是⊙O的切線;

(2)求證:△FDB∽△FAD;

(3)如果⊙O的半徑為5,sin∠ADE=,求BF的長.

【答案】解:(1)證明:如圖,連接OD,

∵AB⊙O的直徑,∴∠ADB=90°。

∴AD⊥BC。

∵AB=AC,∴AD平分BC,即DB=DC

∵OA=OB,∴OD△ABC的中位線。

∴OD∥AC

∵DE⊥AC,∴OD⊥DE。

∵OD⊙O的半徑,∴EF⊙O的切線。

2∵∠DAC=∠DAB∴∠ADE=∠ABD。

RtADB中, 。

∵AB=10,∴AD=8,

RtADE中, 。

∵OD∥AE,∴△FDO∽△FEA

,即,解得

【解析】試題分析:(1)連接OD,AB⊙0的直徑得∠ADB=90°,由AB=AC,根據等腰三角形性質得AD平分BC,即DB=DC,則OD△ABC的中位線,所以OD∥AC,而DE⊥AC,則OD⊥DE,然后根據切線的判定方法即可得到結論;

2)利用兩角對應相等的兩三角形相似進行證明即可.

3)由DAC=DAB,根據等角的余角相等得ADE=ABD,在RtADB中,利用解直角三角形的方法可計算出AD=8,在RtADE中可計算出AE=,然后由ODAE,得FDO∽△FEA,再利用相似比可計算出BF

試題解析:(1)證明:連接OD,如圖,

∵AB⊙0的直徑,

∴∠ADB=90°,

∴AD⊥BC

∵AB=AC,

∴AD平分BC,即DB=DC,

∵OA=OB

∴OD△ABC的中位線,

∴OD∥AC,

∵DE⊥AC,

∴OD⊥DE,

∴EF⊙0的切線;

2)證明:∵EF⊙O的切線,

∴∠ODB+∠BDF=90°,

∵OD=OB,

∴∠OBD=∠ODB

∴∠OBD+∠BDF=90°,

∵AB⊙O的直徑,

∴∠ADB=90°

∴∠DAB+∠OBD=90°,

∴∠DAB=∠BDF,

∵∠BFD=∠DFA,

∴△FDB∽△FAD;

3∵∠DAC=∠DAB

∴∠ADE=∠ABD,

RtADB中,sinADE=sinABD=,而AB=10

∴AD=8,

RtADE中,sinADE=,

AE=,

∵OD∥AE,

∴△FDO∽△FEA,

,

,

BF=

練習冊系列答案
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(2)若固定一根木條AB不動,AB=2cm,量得木條CD=5cm,如果木條AD,BC的長度不變,當點D移到BA的延長線上時,點C也在BA的延長線上;當點C移到AB的延長線上時,點A.C.D能構成周長為30cm的三角形,求出木條AD,BC的長度.

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