【題目】已知:△ABC內(nèi)接于⊙O,D是 上一點,OD⊥BC,垂足為H.

(1)如圖1,當(dāng)圓心O在AB邊上時,求證:AC=2OH;
(2)如圖2,當(dāng)圓心O在△ABC外部時,連接AD、CD,AD與BC交于點P,求證:∠ACD=∠APB;
(3)在(2)的條件下,如圖3,連接BD,E為⊙O上一點,連接DE交BC于點Q、交AB于點N,連接OE,BF為⊙O的弦,BF⊥OE于點R交DE于點G,若∠ACD﹣∠ABD=2∠BDN,AC=5 ,BN=3 ,tan∠ABC= ,求BF的長.

【答案】
(1)解:∵OD⊥BC,

∴由垂徑定理可知:點H是BC的中點,

∵點O是AB的中點,

∴OH是△ABC的中位線,

∴AC=2OH;


(2)解:∵OD⊥BC,

∴由垂徑定理可知: ,

∴∠BAD=∠CAD,

,

∴∠ABC=∠ADC,

∴180°﹣∠BAD﹣∠ABC=180°﹣∠CAD﹣∠ADC,

∴∠ACD=∠APB,


(3)解:連接AO延長交于⊙O于點I,連接IC,AB與OD相交于點M,

∵∠ACD﹣∠ABD=2∠BDN,

∴∠ACD﹣∠BDN=∠ABD+∠BDN,

∵∠ABD+∠BDN=∠AND,

∴∠ACD﹣∠BDN=∠AND,

∵∠ACD+∠ABD=180°,

∴∠ABD+∠BDN=180°﹣∠AND,

∴∠AND=180°﹣∠AND,

∴∠AND=90°,

∵tan∠ABC= ,BN=3 ,

∴NQ= ,

∴由勾股定理可求得:BQ= ,

∵∠BNQ=∠QHD=90°,

∴∠ABC=∠QDH,

∵OE=OD,

∴∠OED=∠QDH,

∵∠ERG=90°,

∴∠OED=∠GBN,

∴∠GBN=∠ABC,

∵AB⊥ED,

∴BG=BQ= ,GN=NQ= ,

∵AI是⊙O直徑,

∴∠ACI=90°,

∵tan∠AIC=tan∠ABC=

= ,

∴IC=10

∴由勾股定理可求得:AI=25,

連接OB,

設(shè)QH=x,

∵tan∠ABC=tan∠ODE ,

∴HD=2x,

∴OH=OD﹣HD= ﹣2x,

BH=BQ+QH= +x,

由勾股定理可得:OB2=BH2+OH2

∴( 2=( +x)2+( ﹣2x)2,

解得:x= 或x= ,

當(dāng)QH= 時,

∴QD= QH= ,

∴ND=QD+NQ=6 ,

∴MN=3 ,MD=15

∵M(jìn)D ,

∴QH= 不符合題意,舍去,

當(dāng)QH= 時,

∴QD= QH=

∴ND=NQ+QD=4 ,

由垂徑定理可求得:ED=10 ,

∴GD=GN+ND=

∴EG=ED﹣GD= ,

∵tan∠OED= ,

∴EG= RG,

∴RG= ,

∴BR=RG+BG=12

∴由垂徑定理可知:BF=2BR=24.


【解析】本題考查圓的綜合問題,涉及圓周角定理,中位線的性質(zhì),銳角三角函數(shù),勾股定理等知識,綜合性較強(qiáng),解答本題需要我們熟練各部分的內(nèi)容,對學(xué)生的綜合能力要求較高,一定要注意將所學(xué)知識貫穿起來.(1)OD⊥BC可知點H是BC的中點,又中位線的性質(zhì)可得AC=2OH;(2)由垂徑定理可知: ,所以∠BAD=∠CAD,由因為∠ABC=∠ADC,所以∠ACD=∠APB;(3)由∠ACD﹣∠ABD=2∠BDN可知∠AND=90°,由tan∠ABC= 可知NQ和BQ的長度,再由BF⊥OE和OD⊥BC可知∠GBN=∠ABC,所以BG=BQ,連接AO并延長交⊙O于點I,連接IC后利用圓周角定理可求得IC和AI的長度,設(shè)QH=x,利用勾股定理可求出QH和HD的長度,利用垂徑定理可求得ED的長度,最后利用tan∠OED= 即可求得RG的長度,最后由垂徑定理可求得BF的長度.

練習(xí)冊系列答案
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(1)求線段BC的長度;
(2)試問:直線AC與直線AB是否垂直?請說明理由;
(3)若點D在直線AC上,且DB=DC,求點D的坐標(biāo);
(4)在(3)的條件下,直線BD上是否存在點P,使以A、B、P三點為頂點的三角形是等腰三角形?若存在,請直接寫出P點的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

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設(shè)a+b=m+n2(其中a、b、m、n均為整數(shù)),則有a+b=m2+2n2+2mn

a=m2+2n2,b=2mn.這樣小明就找到了一種把類似a+b的式子化為平方式的方法.

請你仿照小明的方法探索并解決下列問題:

1當(dāng)a、b、m、n均為正整數(shù)時,若a+b=m+n)2,用含m、n的式子分別表示ab,得:a= ,b= ;

2利用探索的結(jié)論,找一組正整數(shù)a、b、m、n a、b都不超過20

填空:   +  =   +   2;

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