Question

已知：如圖，在△ABC中，D是BC邊上的一點(diǎn)，E是AD的中點(diǎn)，過點(diǎn)A作BC的平行線交于BE的延長線于點(diǎn)F，且AF=DC，連接CF.

（1）求證：D是BC的中點(diǎn)；

（2）如果AB=AC，試判斷四邊形ADCF的形狀，并證明你的結(jié)論．

 

 

Answer 1

（1）證明見解析；（2）四邊形ADCF是矩形，證明見解析.

【解析】

試題分析：（1）可證△AFE≌△DBE，得出AF=BD，進(jìn)而根據(jù)AF=DC，得出D是BC中點(diǎn)的結(jié)論.

（2）若AB=AC，則△ABC是等腰三角形，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)知AD⊥BC；而AF與DC平行且相等，故四邊形ADCF是平行四邊形，又AD⊥BC，則四邊形ADCF是矩形．

試題解析：（1）∵E是AD的中點(diǎn)，∴AE=DE．

∵AF∥BC，∴∠FAE=∠BDE，∠AFE=∠DBE．

在△AFE和△DBE中，∵∠FAE=∠BDE，∠AFE=∠DBE，AE=DE，

∴△AFE≌△DBE（AAS）．∴AF=BD．

∵AF=DC，∴BD=DC，即：D是BC的中點(diǎn)．

（2）四邊形ADCF是矩形，證明如下：

∵AF=DC，AF∥DC，∴四邊形ADCF是平行四邊形．

∵AB=AC，BD=DC，∴AD⊥BC即∠ADC=90°．

∴平行四邊形ADCF是矩形．

考點(diǎn)：1.矩形的判定；2.全等三角形的判定和性質(zhì)；3.等腰三角形的性質(zhì)；4.平行四邊形的性質(zhì)．