Question

二次函數y=

2

3

x²的圖象如圖所示，點A₀位于坐標原點，點A₁，A₂，A₃，…，A_n在y軸的正半軸上，點B₁，B₂，B₃，…，B_n在二次函數位于第一象限的圖象上，點C₁，C₂，C₃，…，C_n在二次函數位于第二象限的圖象上，四邊形A₀B₁A₁C₁，四邊形A₁B₂A₂C₂，四邊形A₂B₃A₃C₃，…，四邊形A_n-1B_nA_nC_n都是菱形，∠A₀B₁A₁=∠A₁B₂A₂=∠A₂B₃A₃=…=∠A_n-1B_nA_n=60°，則A₁點的坐標為

 

，菱形A_n-1B_nA_nC_n的周長為

 

．

Answer 1

考點：菱形的性質,二次函數圖象上點的坐標特征,等邊三角形的判定與性質

專題：規(guī)律型

分析：由于△A₀B₁A₁，△A₁B₂A₂，△A₂B₃A₃，…，都是等邊三角形，因此∠B₁A₀x=30°，可先設出△A₀B₁A₁的邊長，進而可求出A₀的坐標，然后表示出B₁的坐標，代入拋物線的解析式中即可求得△A₀B₁A₁的邊長，用同樣的方法可求得△A₀B₁A₁，△A₁B₂A₂，△A₂B₃A₃，…的邊長，然后根據各邊長的特點總結出此題的一般化規(guī)律，根據菱形的性質易求菱形A_n-1B_nA_nC_n的周長．

解答：解：∵四邊形A₀B₁A₁C₁是菱形，∠A₀B₁A₁=60°，
∴△A₀B₁A₁是等邊三角形．
設△A₀B₁A₁的邊長為m₁，則B₁（

3 m1

2

，

1

2

m1）；
代入拋物線的解析式中得：

2

3

（

3 m1

2

）²=

1

2

m1，
解得m₁=0（舍去），m₁=1；
故△A₀B₁A₁的邊長為1，
∴則A₁點的坐標為（0，1），
同理可求得△A₁B₂A₂的邊長為2，
…
依此類推，等邊△A_n-1B_nA_n的邊長為n，
故菱形A_n-1B_nA_nC_n的周長為4n．
故答案為：（0，1）；4n．

點評：本題考查了二次函數綜合題．解題時，利用了二次函數圖象上點的坐標特征，菱形的性質，等邊三角形的判定與性質等知識點．解答此題的難點是推知等邊△A_n-1B_nA_n的邊長為n．