Question

如圖，射線OA與反比例函數(shù)y₁=

k1

x

（x＞0）圖象交于點(diǎn)D（1，2），射線OB與反比例函數(shù)y₂=-

8

x

（x＜0）的圖象交于點(diǎn)C，且CD∥x軸．
（1）求∠AOB的度數(shù)；
（2）如圖，將∠AOB繞著點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一定的角度，射線OA，OB分別交反比例函數(shù)y₁，y₂的圖象于M，N兩點(diǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，∠OMN的度數(shù)是否會發(fā)生變化？請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）將點(diǎn)D的坐標(biāo)代入y₁，求出k₁的值，然后根據(jù)CD∥x軸，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，求得CD，OD，OC的長，由勾股定理的逆定理，即可證得△AOB是直角三角形；
（2）首先作MF⊥x軸于F，NE⊥x軸于E，設(shè)M（a，

2

a

），N（b，-

8

b

），則MF=

2

a

，OF=a，OE=-b，NE=-

8

b

，易證得Rt△ONE∽Rt△MOF，然后由相似三角形的對應(yīng)邊成比例，求得ON：OM的值，即可求得答案．

解答：解：（1）將點(diǎn)D的坐標(biāo)代入y₁得k₁=1，
則y₁=

2

x

，
∵CD∥x軸，
∴點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為2，
則點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為：-8÷2=-4，
即C（-4，2），
∴CD=5，OD=

1+22

=

5

，OC=

22+42

=2

5

，
∴OA²+OB²=5+20=AB²，
∴∠COD=90°，
即∠AOB=90°；

（2）不變化．理由如下：
作MF⊥x軸于F，NE⊥x軸于E，如圖所示，
設(shè)M（a，

2

a

），N（b，-

8

b

），
則MF=

2

a

，OF=a，OE=-b，NE=-

8

b

，
∵∠AOB繞著點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一定的角度，使∠AOB的兩邊分別交反比例函數(shù)y₁、y₂的圖象于點(diǎn)M、N，
∴∠MON=90°，
∴∠NOE+∠MOF=90°，
而∠NOE+∠ONE=90°，
∴∠ONE=∠MOF，
∴Rt△ONE∽Rt△MOF，
∴

NE

OF

=

OE

MF

=

ON

OM

，
即

- 8 b

a

=

- b 2

a

，
∴a²b²=16，
∵ab＜0，
∴ab=-4，
∴

ON

OM

=-

ab

2

=-

-4

2

=2，
在Rt△OMN中，tan∠NMO=

ON

OM

=2，
∴在旋轉(zhuǎn)的過程中，∠OMN的度數(shù)不變化．

點(diǎn)評：本題考查了反比例函數(shù)的綜合題：掌握反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、反比例函數(shù)的比例系數(shù)的幾何意義和平行四邊形的性質(zhì)；會利用相似比進(jìn)行計算．此題難度較大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．