Question

已知關(guān)于x的一元二次方程：x²-（k+2）x+

1

4

k²+1=0．
（1）k取什么值時(shí)，原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根？
（2）如果方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根x₁、x₂（x₁＜x₂）滿足x₁+|x₂|=4，求k的值和方程的兩根．

Answer 1

考點(diǎn)：根的判別式,根與系數(shù)的關(guān)系

專題：計(jì)算題

分析：（1）根據(jù)判別式的意義得到△=（k+2）²-4（

1

4

k²+1）＞0，然后解不等式得到k＞0；
（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得x₁+x₂=k+2＞0，x₁•x₂=

1

4

k²+1＞0，則0＜x₁＜x₂，對x₁+|x₂|=4去絕對值得到x₁+x₂=4，所以k+2=4，解得k=2，當(dāng)k=2時(shí)，原方程變形為x²-4x+2=0，然后利用配方法解方程．

解答：解：（1）根據(jù)題意得△=（k+2）²-4（

1

4

k²+1）＞0，解得k＞0，
即k＞0時(shí)，原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）根據(jù)題意得x₁+x₂=k+2＞0，x₁•x₂=

1

4

k²+1＞0，
∴0＜x₁＜x₂，
∴x₁+x₂=4，
∴k+2=4，解得k=2，
當(dāng)k=2時(shí)，原方程變形為x²-4x+2=0，
x²-4x+4=2，
（x-2）²=2，
所以x₁=2+

2

，x₂=2-

2

．

點(diǎn)評：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b²-4ac：當(dāng)△＞0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＜0，方程沒有實(shí)數(shù)根．也考查了根與系數(shù)的關(guān)系．