Question

等腰△ABC中，AB=AC，邊AB繞點A逆時針旋轉角度m得到線段AD．

（1）如圖1，若∠BAC=30°，30°＜m＜180°，連接BD，請用含m的式子表示∠DBC的度數(shù)；
（2）如圖2，若∠BAC=60°，0°＜m＜360°，連接BD，DC，直接寫出△BDC為等腰三角形時m所有可能的取值

 

；
（3）如圖3，若∠BAC=90°，射線AD與直線BC相交于點E，是否存在旋轉角度m，使

AE

BE

=

2

？若存在，求出所有符合條件的m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：旋轉的性質,等腰三角形的性質

專題：

分析：（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和和等腰三角形的性質分別求出∠ABC，∠ABD的度數(shù)，相減即可求解；
（2）分四種情況討論得到△BDC為等腰三角形時m的取值即可；
（3）分E點在BC上和CB的延長線上兩種情況討論求解．

解答：解：（1）∠ABC=（180°-30°）÷2=75°，
∠ABD=（180°-m）÷2=90°-

1

2

m，
∠DBC=∠ABC-∠ABD=75°-（90°-

1

2

m）=

1

2

m-15°；

（2）由分析圖形可知m的取值為：
30°，120°，210°，300°，
故答案為：30°，120°，210°，300°；

（3）存在2個符合條件的m的值：m=30°或m=330°．
如圖①：過E作EF⊥AB于F．
在Rt△BEF中，∵∠FBE=45°，
∴BE=

2

EF，
∵AE：BE=

2

；
∴AE=2EF；
又∵∠AFE=90°；
∴∠FAE=30°．即m=30°
在Rt△AEF中，∵∠FAE=30°，
∴AE=2EF，
∴AE：BE=

2

；
如圖②：同理可得：AE：BE=

2

．
綜上可得：m=30°．

點評：本題綜合考查了等腰三角形的性質，等腰直角三角形的性質，旋轉的性質，注意分類思想的運用，是考試壓軸題，難度較大．