Question

如圖，已知拋物線y=x²+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)（A點(diǎn)在B點(diǎn)左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C（0，-3），對(duì)稱軸是直線x=1，直線BC與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)D．
（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）求直線BC的函數(shù)表達(dá)式；
（3）點(diǎn)E為y軸上一動(dòng)點(diǎn)，CE的垂直平分線交y軸于點(diǎn)F，交拋物線于P、Q兩點(diǎn)，且點(diǎn)P在第三象限．
①當(dāng)線段PQ=

3

4

AB時(shí)，求CE的長(zhǎng)；
②當(dāng)以點(diǎn)C、D、E為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）利用對(duì)稱軸公式即可得出b的值，再利用拋物線與y軸交于點(diǎn)C（0，-3），求出拋物線解析式即可；
（2）由拋物線解析式得到B、C點(diǎn)坐標(biāo)，即可得到直線BC的函數(shù)表達(dá)式；
（3）①由拋物線的對(duì)稱性可得PM=

3

2

，可得P點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得出F點(diǎn)坐標(biāo)以及FC的長(zhǎng)度，根據(jù)垂直平分的性質(zhì)即可得出CE的長(zhǎng)度；
②當(dāng)∠CDE=90°時(shí)，則CE為斜邊，則DG²=CG•GE，即1=（OC-OG）•（2-a），求出a的值，進(jìn)而得出P點(diǎn)坐標(biāo)；當(dāng)CD為斜邊時(shí)，DE⊥CE，可得到P和F的縱坐標(biāo)為-

5

2

，代入拋物線解析式，可得P點(diǎn)坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1，
∴-

b

2a

=-

b

2×1

=1．
∴b=-2．
∵拋物線與y軸交于點(diǎn)C（0，-3），
∴c=-3．
∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=x²-2x-3；

（2）∵拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，
當(dāng)y=0時(shí)，x²-2x-3=0．
∴x₁=-1，x₂=3．
∵A點(diǎn)在B點(diǎn)左側(cè)，
∴A（-1，0），B（3，0）．
設(shè)過點(diǎn)B（3，0）、C（0，-3）的直線的函數(shù)表達(dá)式為y=kx+m，
則

0=3k+m -3=m

，
∴

k=1 m=-3

，
∴直線BC的函數(shù)表達(dá)式為：y=x-3；

（3）①∵AB=4，PQ=

3

4

AB，
∴PQ=3．
∵PQ⊥y軸，
∴PQ∥x軸．
則由拋物線的對(duì)稱性可得PM=

3

2

，
∵對(duì)稱軸是直線x=1，
∴P到y(tǒng)軸的距離是

1

2

．
∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為-

1

2

．
∴P（-

1

2

，-

7

4

）．
∴F（0，-

7

4

）．
∴FC=3-OF=3-

7

4

=

5

4

．
∵PQ垂直平分CE于點(diǎn)F，
∴CE=2FC=

5

2

．

②P₁（1-

2

，-2），P₂（1-

6

2

，-

5

2

）．
設(shè)OE=a，則GE=2-a，
∵當(dāng)CE為斜邊時(shí)，
∴DG²=CG•GE，即1=（OC-OG）•（2-a），
∴1=1×（2-a）．
∴a=1．
∴CE=2．
∴OF=OE+EF=2．
∴F、P的縱坐標(biāo)為-2．
把y=-2，代入拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=x²-2x-3得：x=1+

2

或1-

2

∵點(diǎn)P在第三象限，
∴P₁（1-

2

，-2）．
∵當(dāng)CD為斜邊時(shí)，DE⊥CE，
∴OE=2，CE=1．
∴OF=2.5．
∴P和F的縱坐標(biāo)為：-

5

2

．
把y=-

5

2

，代入拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=x²-2x-3得：x=1-

6

2

，或1+

6

2

，
∵點(diǎn)P在第三象限，
∴P₂（1-

6

2

，-

5

2

）．
綜上所述：滿足條件為P₁（1-

2

，-2），P₂（1-

6

2

，-

5

2

）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二次函數(shù)的綜合題型、涉及直角三角形的性質(zhì)和待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式等知識(shí)，在求有關(guān)動(dòng)點(diǎn)問題時(shí)要注意分析題意分情況討論結(jié)果．