Question

將兩塊含30°角且大小相同的直角三角板如圖l擺放。  

（1）將圖l中△A₁B₁C繞點C順時針轉(zhuǎn)45°得到圖2，點P_l是A₁C與AB的交點，求證：

（2）將圖2中△A₁B₁C繞點C順時針旋轉(zhuǎn)30°到△A₂B₂C（如圖3），P₂是A₂C與AB的交點，線段CP₁與P₁P₂之間存在一個確定的等量關(guān)系，請你寫出這個等量關(guān)系式，并說明理由；

（3）將圖3中線段CP₁繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°到CP₃（如圖4）連結(jié)P₃P₂，求證：P₃P₂⊥AB。

Answer 1

解：（1）過P₁做P₁M⊥AC于M，則∠PMC=90°，      

       ∵∠CP₁M=∠ACP₁=45°，∠A=30°，

       ∴，，       

       即：。

（2）關(guān)系為：          

        過P₁做P₁N⊥A₂C于N，

        易知∠P₂CA=15°，∠P₁P₂C=45°，      

        ∴，而，即。 

（3）由（2）知，∠P₁P₂C=45°，C₁P=CP₃，∠P₁ C P₂=∠P₃C P₂=30°，CP₂=CP₂，

        ∴△P₁P₂C≌ △P₃ P₂ C，  

        ∴∠C P₂P₁=∠C P₂ P₃=45°，

        ∴。   

        ∴P₂P₃⊥AB。