Question

已知關于x的一元二次方程（c-b）x²+a-b=2（b-a）x有兩個相等的實數(shù)根，求證：以a，b，c為邊組成的三角形是等腰三角形．

Answer 1

考點：根的判別式,等腰三角形的判定

專題：證明題

分析：若一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，則根的判別式△=b²-4ac=0，即[-2（b-a）]²-4（c-b）（a-b）=0，再利用完全平方公式得出即可．

解答：解：∵關于x的一元二次方程（c-b）x²+a-b=2（b-a）x有兩個相等的實數(shù)根，
∴（c-b）x²-2（b-a）x+（a-b）=0
∴△=[-2（b-a）]）²-4（c-b）（a-b）=0，
∴（a-b）²-（c-b）（a-b）=0，
∴（a-b）[（a-b）-（c-b）]=0，
∴a-b=0或a-b-（c-b）=0，
∴a=b或a=c，
即以a，b，c為邊組成的三角形是等腰三角形．

點評：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c為常數(shù)）的根的判別式△=b²-4ac．當△＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當△=0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當△＜0時，方程沒有實數(shù)根．