Question

如圖，直線y=-x+3交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)B，拋物線經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)．點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，0）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）請直接寫出一點(diǎn)D的坐標(biāo)，使以A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：特定專題

分析：（1）令y=-x+3中的x=0，得y=3，∴B點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，3），令y=-x+3中的y=0，得x=3，∴A點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，0），然后用待定系數(shù)法求出過A（3，0）、B（0，3）、C（1，0）三點(diǎn)的拋物線的解析式即可；
（2）分別以AB、BC、AC為對角線，構(gòu)造平行四邊形，由平行四邊形的性質(zhì)，結(jié)合拋物線的圖象即可求出符合條件的D點(diǎn)．

解答：解：（1）令y=-x+3中的x=0，得y=3，
∴B點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，3），
令y=-x+3中的y=0，得x=3，
∴A點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，0），
設(shè)過A（3，0）、B（0，3）、C（1，0）三點(diǎn)的拋物線的解析式為：
y=ax²+bx+c，
將A、B、C三點(diǎn)代入上式得：

9a+3b+c=0 c=3 a+b+c=0

，
解得：

a=1 b=-4 c=3

．
∴過A、B、C三點(diǎn)的拋物線解析式為：y=x²-4x+3．

（2）以AB為對角線，構(gòu)造平行四邊形ACBD，
∵四邊形ACBD是平行四邊形，
∴AC∥BD且AC=BD=2，
∴D（2，3），
以BC為對角線，構(gòu)造平行四邊形CABD′，
∵四邊形CABD′是平行四邊形，
∴AC∥BD′且AC=BD′=2，
∴D′（-2，3），
以AC為對角線，構(gòu)造平行四邊形ABCD″，
∴BC∥AD″且BC=AD″，
在△COB與△AED″中，

∠BOC=∠AED″ ∠BCO=∠EAD″ BC=AD″

，
∴△COB≌△AED″（AAS）
∴AE=OC=1，ED″=BO=3，
∴OE=4，
∴D″（4，-3），
∴以A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形的D點(diǎn)有3個：
D（2，3），D′（-2，3），D″（4，-3）．

點(diǎn)評：此題考查了二次函數(shù)綜合題，涉及的知識有：平行四邊形的判定與性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，二次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，二次函數(shù)的性質(zhì)，以及待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵．