【題目】已知等邊△ABC的邊長為4cm,點P,Q分別從B,C兩點同時出發(fā),其中點P沿BC向終點C運動,速度為1cm/s;
點Q沿CA,AB向終點B運動,速度為2cm/s,設(shè)它們運動的時間為x(s),
(1)如圖(1),當x為何值時,PQ∥AB;
(2)如圖(2),若PQ⊥AC,求x;
(3)如圖(3),當點Q在AB上運動時,PQ與△ABC的高AD交于點O,OQ與OP是否總是相等?請說明理由.
【答案】(1)當x=時,PQ∥AB;(2)x=;(3)見解析
【解析】
試題(1)首先得出△PQC為等邊三角形,進而表示出PC=4﹣x,CQ=2x,由4﹣x=2x,求出答案;
(2)根據(jù)題意得出CQ=PC,即2x=(4﹣x),求出即可;
(3)根據(jù)題意得出QH=DP,進而判斷出△OQH≌△OPD(AAS),即可得出答案.
解:(1)∵∠C=60°,
∴當PC=CQ時,△PQC為等邊三角形,
于是∠QPC=60°=∠B,
從而PQ∥AB,
∵PC=4﹣x,CQ=2x,
由4﹣x=2x,
解得:x=,
∴當x=時,PQ∥AB;
(2)∵PQ⊥AC,∠C=60°,
∴∠QPC=30°,
∴CQ=PC,
即2x=(4﹣x),
解得:x=;
(3)OQ=PO,理由如下:
作QH⊥AD于H,如圖(3),
∵AD⊥BC,
∴∠QAH=30°,BD=BC=2,
∴QH=AQ=(2x﹣4)=x﹣2,
∵DP=BP﹣BD=x﹣2,
∴QH=DP,
在△OQH和△OPD中,
,
∴△OQH≌△OPD(AAS),
∴OQ=OP.
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【題目】已知,點O是等邊△ABC內(nèi)的任一點,連接OA,OB,OC.
(1)如圖1,已知∠AOB=150°,∠BOC=120°,將△BOC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°得△ADC.
①∠DAO的度數(shù)是多少?
②用等式表示線段OA,OB,OC之間的數(shù)量關(guān)系,并證明;
(2)設(shè)∠AOB=α,∠BOC=β.
①當α,β滿足什么關(guān)系時,OA+OB+OC有最小值?請在圖2中畫出符合條件的圖形,并說明理由;
②若等邊△ABC的邊長為1,直接寫出OA+OB+OC的最小值.
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【題目】一張長方形紙片,剪下一個正方形,剩下一個長方形,稱為第一次操作;在剩下的長方形紙片中再剪下一個正方形,剩下一個長方形,稱為第二次操作;…;若在第n次操作后,剩下的長方形為正方形,則稱原長方形為n階奇異長方形.如圖1,長方形ABCD中,若AB=2,BC=6,則稱長方形ABCD為2階奇異長方形.
(1)判斷與操作:如圖2,長方形ABCD長為10,寬為6,它是奇異長方形,請寫出它是____階奇異長方
形,并在圖中畫出裁剪線;
探究與計算:已知長方形ABCD的一邊長為24,另一邊長為a (a<24),且它是3階奇異長方形,請畫出所
有可能的長方形ABCD及裁剪線的示意圖,并求出相應(yīng)的a值.
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【題目】閱讀下面材料:
小昊遇到這樣一個問題:如圖1,在△ABC中,∠ACB=90°,BE是AC邊上的中線,點D在BC邊上,CD:BD=1:2,AD與BE相交于點P,求 的值.
(1)小昊發(fā)現(xiàn),過點A作AF∥BC,交BE的延長線于點F,通過構(gòu)造△AEF,經(jīng)過推理和計算能夠使問題得到解決(如圖2).
請回答: 的值為 .
(2)參考小昊思考問題的方法,解決問題:
如圖3,在△ABC中,∠ACB=90°,點D在BC的延長線上,AD與AC邊上的中線BE的延長線交于點P,DC:BC:AC=1:2:3.
①求 的值;
(3)②若CD=2,則BP= .
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【題目】如圖1,在等腰直角△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=2,點E是BC邊上一點,∠DEF=45°且角的兩邊分別與邊AB,射線CA交于點P,Q.
(1)如圖2,若點E為BC中點,將∠DEF繞著點E逆時針旋轉(zhuǎn),DE與邊AB交于點P,EF與CA的延長線交于點Q.設(shè)BP為x,CQ為y,試求y與x的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量x的取值范圍;
(2)如圖3,點E在邊BC上沿B到C的方向運動(不與B,C重合),且DE始終經(jīng)過點A,EF與邊AC交于Q點.探究:在∠DEF運動過程中,△AEQ能否構(gòu)成等腰三角形,若能,求出BE的長;若不能,請說明理由.
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【題目】計算:
(1)﹣0.125×18×8
(2)﹣24×(﹣+)
(3)91×(﹣36)
(4)﹣4×(﹣8)+(﹣8)×(﹣8)+12×(﹣8)
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【題目】如圖1,某超市從一樓到二樓有一自動扶梯,圖2是側(cè)面示意圖.已知自動扶梯AB的坡度為1:2.4,AB的長度是13米,MN是二樓樓頂,MN∥PQ,C是MN上處在自動扶梯頂端B點正上方的一點,BC⊥MN,在自動扶梯底端A處測得C點的仰角為42°,則二樓的層高BC約為(精確到0.1米,sin42°≈0.67,tan42°≈0.90)( )
A.10.8米
B.8.9米
C.8.0米
D.5.8米
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【題目】如圖,一次函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過點A(8,0),直線y=-3x+6與x軸交于點B,與y軸交于點D,且兩直線交于點C(4,m).
(1)求m的值及一次函數(shù)的解析式;
(2)求△ACD的面積。
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【題目】暑假期間,七(2)班的張明、王強等同學(xué)隨家長一同到某公園游玩,下面是購買門票時,張明與他爸爸的對話(如圖),試根據(jù)圖中的信息,解答下列問題:
⑴張明他們一共去了幾個成人,幾個學(xué)生?
⑵請你幫助張明算一算,用哪種方式購票(團體購票還是非團體購票)更省錢?說明理由.
⑶正要購票時,張明發(fā)現(xiàn)七(3)班的張小毛等15名同學(xué)和他們的2名家長共17人也來購票,請你為他們設(shè)計出最省的購票方案,并求出此時的購票費用.
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