Question

如圖，在正方形ABCD中，E是AB上的點，⊙O是以BC為直徑的圓．
（1）若E是AB中點，連接DE，AO，求證：AO⊥DE；
（2）若BE=2，DE=10，試判斷直線DE與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

考點：切線的判定,正方形的性質(zhì)

專題：證明題

分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)得AB=AD，∠BAD=∠ABC=90°，再由E是AB上的點，⊙O是以BC為直徑的圓，則可根據(jù)“SAS”判斷△ABO≌△DAE，則∠BAO=∠ADE，然后利用∠BAO+∠OAD=90°得到∠ADE+∠OAD=90°，即有AO⊥DE；
（2）設(shè)正方形的邊長為a，則AE=a-2，在Rt△ADE中利用勾股定理得（a-2）²+a²=10²，解方程求出a即可得到正方形邊長為8，則CD=8，OC=4，
作OF⊥DE于F，連接OE、OD，如圖，利用勾股定理，在Rt△OBE中計算出OE=2

5

，在Rt△OCD中計算出OD=4

5

，所以O(shè)E²+OD²=DE²，根據(jù)勾股定理的逆定理得△ODE為直角三角形，接著利用面積法計算出OF=4，然后根據(jù)切線的判定方法可得到直線DE與⊙O相切．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD為正方形，
∴AB=AD，∠BAD=∠ABC=90°，
∴E是AB上的點，⊙O是以BC為直徑的圓，
∴AE=BO，
在△ABO和△DAE中

AB=DA ∠ABO=∠DAE BO=AE

，
∴△ABO≌△DAE（SAS），
∴∠BAO=∠ADE，
而∠BAO+∠OAD=90°，
∴∠ADE+∠OAD=90°，
∴AO⊥DE；
（2）解：直線DE與⊙O相切．理由如下：
設(shè)正方形的邊長為a，則AE=a-2，
在Rt△ADE中，∵AE²+AD²=DE²，
∴（a-2）²+a²=10²，解得a₁=-6（舍去），a₂=8，
∴正方形邊長為8，
∴CD=8，OC=4，
作OF⊥DE于F，連接OE、OD，如圖，
在Rt△OBE中，OE=

OB2+BE2

=

42+22

=2

5

，
在Rt△OCD中，OD=

OC2+CD2

=4

5

，
∴OE²+OD²=DE²，
∴△ODE為直角三角形，
∴

1

2

OE•OD=

1

2

OF•DE，
∴OF=

2 5 ×4 5

10

=4，
∴OF為⊙O的半徑，
而OF⊥DE，
∴直線DE與⊙O相切．

點評：本題考查了切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．也考查了正方形的性質(zhì)和勾股定理、勾股定理的逆定理．