Question

已知直線AB過(guò)x軸上一點(diǎn)A（-2，0），且與拋物線y=ax²交于B、C兩點(diǎn)，C（2，-4）．
（1）求直線與拋物線的解析式；
（2）在拋物線上是否存在一點(diǎn)D，使得S_△AOD：S_△BOC=2，若存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式,二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征

專(zhuān)題：計(jì)算題

分析：（1）利用待定系數(shù)法可求得直線AB的解析式為y=-x-2；然后把C點(diǎn)坐標(biāo)代入y=ax²可計(jì)算出a的值，從而得到拋物線解析式；
（2）先解方程組

y=-x2 y=-x-2

得B點(diǎn)坐標(biāo)（-1，-1），再確定E點(diǎn)坐標(biāo)（0，-2），接著計(jì)算S_△OBC=S_△OBE+S_△OCE=3，所以S_△AOD=6，然后設(shè)D點(diǎn)坐標(biāo)為（t，-t²），根據(jù)三角形面積公式得

1

2

•2•|-t²|=6，解方程得到t的值，則可確定D點(diǎn)坐標(biāo)．

解答：解：（1）設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，
把A（-2，0），C（2，-4）代入得

-2k+b=0 2k+b=-4

，
解得

a=-1 b=-2

．
所以直線AB的解析式為y=-x-2；
把C（2，-4）代入y=ax²得4a=-4，
解得a=-1．
所以拋物線解析式為y=-x²；
（2）存在．
解方程組

y=-x2 y=-x-2

得

x=-1 y=-1

或

x=2 y=-4

，則B點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，-1），
當(dāng)x=0時(shí)，-x-2=0，解得x=-2，則E點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-2），
所以S_△OBC=S_△OBE+S_△OCE=

1

2

×2×1+

1

2

×2×2=3，
而S_△AOD：S_△BOC=2，
所以S_△AOD=6，
設(shè)D點(diǎn)坐標(biāo)為（t，-t²），
所以

1

2

•2•|-t²|=6，解得t=

6

或-

6

，
所以D點(diǎn)坐標(biāo)為（

6

，-6）或（-

6

，-6）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式時(shí)，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式，從而代入數(shù)值求解．一般地，當(dāng)已知拋物線上三點(diǎn)時(shí)，常選擇一般式，用待定系數(shù)法列三元一次方程組來(lái)求解；當(dāng)已知拋物線的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ(chēng)軸時(shí)，常設(shè)其解析式為頂點(diǎn)式來(lái)求解；當(dāng)已知拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，可選擇設(shè)其解析式為交點(diǎn)式來(lái)求解．