Question

在⊙O中，已知⊙O的直徑AB為2，弦AC長為

3

，弦AD長為

2

．則DC²=

 

．

Answer 1

分析：根據垂徑定理和勾股定理可得．

解答：解：連接AD，AC，BC，BD，
∵直徑AB=2，弦AC=

3

，弦AD=

2

∴BC²=（AB²-AC²）=2²-（

3

）²=1，
BD²=（AB²-AD²）=2²-（

2

）²=2，
∴BC=1，BD=

2

∴∠ABC=60°，∠ABD=45°，
過點C作CP⊥AB交于點P，作CQ⊥DQ交于點Q，
則BP=

1

2

，OQ=CP=

3

2

，OP=

1

2

，
如果弦AC，AD在同一個半圓，
則DQ=OD-OQ=1-

3

2

=

2- 3

2

∴CD²=DQ²+QC²=DQ²+OP²=（

2- 3

2

）²+（

1

2

）²=2-

3

．
如果弦AC，AD分別在兩個半圓，
則DQ=OD+OQ=1+

3

2

=

2+ 3

2

∴CD²=DQ²+QC²=DQ²+OP²=（

2+ 3

2

）²+（

1

2

）²=2+

3

．
故答案為 2+

3

或 2-

3

．
解：連接AD，AC，BC，BD，
∵直徑AB=2，弦AC=

3

，弦AD=

2

∴BC²=（AB²-AC²）=2²-（

3

）²=1，
BD²=（AB²-AD²）=2²-（

2

）²=2，
∴BC=1，BD=

2

∴∠ABC=60°，∠ABD=45°，
∵∠OQB=90°，
∴∠QOB=45°，
∴OP=CP，QO=BQ，BO=CO，
∴△COP≌△BOQ，
∴QO=CP，
過點C作CP⊥AB交于點P，作CQ⊥DB交于點Q，
則BP=

1

2

，OQ=CP=

3

2

，OP=

1

2

，
如果弦AC，AD在同一個半圓，
則DQ=OD-OQ=1-

3

2

=

2- 3

2

∴CD²=DQ²+QC²=DQ²+OP²=（

2- 3

2

）²+（

1

2

）²=2-

3

．
如果弦AC，AD分別在兩個半圓，
則DQ=OD+OQ=1+

3

2

=

2+ 3

2

∴CD²=DQ²+QC²=DQ²+OP²=（

2+ 3

2

）²+（

1

2

）²=2+

3

．
故填2+

3

或2-

3

．

點評：此題主要考查了垂徑定理和勾股定理．