【題目】(2016山東省泰安市第27題)如圖,在四邊形ABCD中,AC平分BCD,ACAB,E是BC的中點,ADAE.

(1)、求證:AC2=CD·BC;

(2)、過E作EGAB,并延長EG至點K,使EK=EB.

若點H是點D關(guān)于AC的對稱點,點F為AC的中點,求證:FHGH;

B=30°,求證:四邊形AKEC是菱形.

【答案】(1)、證明過程見解析;(2)、證明過程見解析.

【解析】

試題分析:(1)、欲證明AC2=CDBC,只需推知ACD∽△BCA即可;(2)、連接AH.構(gòu)建直角AHC,利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半、等腰對等角以及等量代換得到:FHG=CAB=90°,即FHGH;

利用在直角三角形中,30度角所對的直角邊等于斜邊的一半、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半推知四邊形AKEC的四條邊都相等,則四邊形AKEC是菱形.

試題解析:(1)、AC平分BCD,∴∠DCA=ACB.又ACAB,ADAE,

∴∠DAC+CAE=90°,CAE+EAB=90°, ∴∠DAC=EAB. E是BC的中點, AE=BE,

∴∠EAB=ABC,∴∠DAC=ABC,∴△ACD∽△BCA,, =CD·BC;

(1)、證明:連接AH.∵∠ADC=BAC=90°,點H、D關(guān)于AC對稱,AHBC. EGAB,AE=BE,

點G是AB的中點,HG=AG,∴∠GAH=GHA.點F為AC的中點,AF=FH,∴∠HAF=FHA,

∴∠FHG=AHF+AHG=FAH+HAG=CAB=90°,FHGH;

②∵EKAB,ACAB, EKAC, ∵∠B=30°,AC=BC=EB=EC. 又EK=EB,EK=AC,

即AK=KE=EC=CA,四邊形AKEC是菱形.

練習冊系列答案
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