Question

已知矩形OABC在平面直角坐標(biāo)系中位置如圖所示，A點(diǎn)的坐標(biāo)（5，0），C點(diǎn)的坐標(biāo)（0，-3），直線y=-

3

4

x與BC邊交于D點(diǎn)．
（1）求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）求經(jīng)過(guò)O、A、D三點(diǎn)的拋物線的解析式；
（3）M是（2）中拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，N是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是否存在以O(shè)、D、M、N為頂點(diǎn)，以線段OD為一邊的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）令y=-3，進(jìn)而代入求出x的值，即可得出D點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）利用O、A、D點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式即可；
（3）利用平行四邊形的判定與性質(zhì)得出平行四邊形ODM₁N₁，平行四邊形ODN₂M₂和平行四邊形ODN₃M₃中，y₂=y₃，進(jìn)而得出答案．

解答：解：（1）當(dāng)y=-3時(shí)，-

3

4

x=-3，
解得：x=4
故D（4，-3）；
（2）拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過(guò)O、A、D點(diǎn)故可得出：

c=0 25a+5b=0 16a+4b=-3

，
解得：

a= 3 4 b=- 15 4 c=0

，．
故拋物線解析式為：y=

3

4

x2-

15

4

x；

（3）存在．如圖，
OD=

32+42

=5，
平移線段OD，當(dāng)線段OD的一個(gè)端點(diǎn)與x軸重合，另一個(gè)端點(diǎn)與拋物線重合時(shí)，O、D、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，
平行四邊形ODM₁N₁中，y₁=-3，則

3

4

x2-

15

4

x=-3
解得：x₁=1，x₂=4
則M₁（1，-3）
再由M點(diǎn)在x軸上方得出，平行四邊形ODN₂M₂和平行四邊形ODN₃M₃中，y₂=y₃=3，則

3

4

x2-

15

4

x=3，
解得：x2=

5- 41

2

，x3=

5+ 41

2

，
故M2(

5- 41

2

，3)，M3(

5+ 41

2

，3)
綜上所述，滿足條件的M點(diǎn)有三個(gè)，坐標(biāo)為（1，-3），(

5- 41

2

，3)，(

5+ 41

2

，3)．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用以及平行四邊形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，利用平行四邊形得出各邊之間關(guān)系是解題關(guān)鍵．