Question

在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，M是BC邊上一點(diǎn)．
（1）如圖1，若M是BC中點(diǎn)，N為AB上任意一點(diǎn)，求MN+CN的最小值；
（2）如圖2，BD平分∠ABC，點(diǎn)M、N分別是BC、BD上任意一點(diǎn)，求MC+CN的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：軸對稱-最短路線問題

專題：

分析：（1）根據(jù)平面內(nèi)線段最短，構(gòu)建直角三角形，解直角三角形即可．
（2）根據(jù)已知條件結(jié)合圖形構(gòu)造全等三角形，利用三角形的三邊的關(guān)系確定線段和的最小值．

解答：解：（1）如圖1，過點(diǎn)作CO⊥AB于O，延長BO到B'，使OC'=OC，連接MC'，交AB于N，
此時(shí)MC'=MN+NC'=MN+CN的值最小，
連接BC'，
∵CO⊥AB，AC=BC，∠ABC=90°，
∴∠BCO=

1

2

×90°=45°，
∵CO=OC'，CO⊥AB，
∴BC'=CB=2，
∴∠OC'B=∠OCB=45°，
∴∠C'BC=90°，
∴C'B⊥BC，
∴MC′=

BC′2+BM2

=

22+12

=

5

，
∴MB'的長度就是BN+MN的最小值為

5

．

（2）如圖2，在BA上截取BM=BM′，連接CM′．
∵在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，
∴AB=

AC2+BC2

=2

2

，
∵BD平分∠ABC，
∴∠NBM=∠NBM′，
在△BMN與△BM′N中，

BM=BM′ ∠NBM=∠NBM′ BN=BN

，
∴△BMN≌△BM′N（SAS），
∴MN=M′N．
∴MN+CN=CN+M′N≥CM′．
∵CN+MN有最小值．
當(dāng)CM′是點(diǎn)C到直線AB的距離時(shí)，CM′為最小值，
所以CN+MN的最小值是

1

2

AB=

1

2

×2

2

=

2

．
故CN+MN的最小值是

2

．

點(diǎn)評：此題考查了線路最短的問題，確定動點(diǎn)N為何位置時(shí)，使MN+CN的值最小是關(guān)鍵．