【題目】如圖,在正方形ABCD中,∠BAC的平分線交BC邊于G,AG的中垂線與CB的延長線交于E,與AB、AC、DC分別交于點M,N,F,下列結(jié)論:①tanE=,②AGC≌△EMG,③四邊形AMGN是菱形,④SCFN=S四邊形AMGN,其中正確的是______(填序號).

【答案】②③④

【解析】

在正方形ABCD中,∠BAC的平分線交BC邊于G,可得∠BAG=CAG=BAC=22.5°,∠AGB=67.5°,因為AG的中垂線與CB的延長線交于E,可得AM=MG,AN=NG,∠E=22.5°,即可判斷①錯誤,證明AM=AN,可得AM=GM=NG=AN,即四邊形AMGN是菱形,可判斷③正確;用角角邊可證明AGC≌△EMG,可判斷②正確;證明意AMN∽△CFN,可得SCFN=2SAMN=S四邊形AMGN,可判斷④正確.

解:∵在正方形ABCD中,∠BAC的平分線交BC邊于G,

∴∠BAG=CAG=BAC=22.5°,

∵∠ABC=90°,

∴∠AGB=90°-22.5°=67.5°

AG的中垂線與CB的延長線交于E,

AM=MG,AN=NG,∠E=90°-AGB=22.5°

tanE=錯誤,即①錯誤;

∵∠AMN=ANM=90°-22.5°=67.5°,

AM=AN,

AM=GM=NG=AN

∴四邊形AMGN是菱形,即③正確;

∵四邊形AMGN是菱形,

MGAC,ABNG

∴∠ACG=MGE=45°,∠NGC=ABC=90°,

GC=GN=GM,

∵∠GAC=E=22.5°

∴△AGC≌△EMGAAS),即②正確;

由題意AMN∽△CFN,

SCFN=2SAMN=S四邊形AMGN,即④正確.

故答案為:②③④.

練習冊系列答案
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