Question

如圖，點(diǎn)E，O，C在半徑為5的⊙A上，BE是⊙A上的一條弦，cos∠OBE=

4

5

，∠OEB=30°．則BC的長(zhǎng)為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：垂徑定理,坐標(biāo)與圖形性質(zhì),圓周角定理,解直角三角形

專(zhuān)題：

分析：過(guò)點(diǎn)O作OH⊥BE，垂足為H，連接AC．證得∠OBE=∠ECO，結(jié)合90度的圓周角所對(duì)的弦是直徑，求得EO的長(zhǎng)度，然后結(jié)合三角函數(shù)求得EB的長(zhǎng)度，再用勾股定理求得BC的長(zhǎng)度．

解答：解：過(guò)點(diǎn)O作OH⊥BE，垂足為H，連接AC．
因?yàn)椤螼BE=∠ECO，
∴cos∠OBE=cos∠OCE=

4

5

，
又∵∠EOC=90°，所以EC是⊙O的直徑，半徑為5，
所以cos∠OCE=

OC

EC

=

4

5

，
∴OC=8．
由勾股定理得：EO=6，
又∵∠OEB=30°
∴OH=3，EH=3

3

，
∵∠OEB=30°，
∴∵∠OAB=30°，
∴△OAB是等邊三角形，
所以O(shè)A=OB=AB=5，
根據(jù)勾股定理，BH=4，
所以EB=3

3

+4，∴BC2=EC2-EB2=100-(3

3

+4)2=（4

3

-3）²，
所BC=4

3

-3．
故答案為：4

3

-3．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了90度的圓周角所對(duì)的弦是直徑這一性質(zhì)的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵在于如何構(gòu)造直角三角形結(jié)合三角函數(shù)求出線(xiàn)段的長(zhǎng)度．