Question

已知⊙O的半徑OA=2，弦AB=2

2

，AC=2

3

，求∠BAC的度數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：垂徑定理,勾股定理

專(zhuān)題：分類(lèi)討論

分析：分別作OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分別是D、E，則根據(jù)垂徑定理得到AE=

1

2

AC=

3

，AD=

1

2

AB=

2

，再根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義，在Rt△OAE中可計(jì)算出∠OAE=30°，在Rt△OAD中計(jì)算出∠OAD=45°，然后分類(lèi)討論：當(dāng)AB，AC在圓心的兩側(cè)時(shí)，∠BAC=∠OAD+∠OAE；當(dāng)AB，AC在圓心的同側(cè)時(shí)∠BAC′=∠OAD-∠OAE．

解答：解：分別作OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分別是D、E，
∵OE⊥AC，OD⊥AB，
∴AE=

1

2

AC=

3

，AD=

1

2

AB=

2

，
在Rt△OAE中，∵cos∠OAE=

AE

OA

=

3

2

，
∴∠OAE=30°，
在Rt△OAD中，∵cos∠OAD=

AD

AO

=

2

2

，
∴∠OAD=45°，
當(dāng)AB，AC在圓心的兩側(cè)時(shí)，∠BAC=∠OAD+∠OAE=45°+30°=75°；
當(dāng)AB，AC在圓心的同側(cè)時(shí)∠BAC′=∠OAD-∠OAE=45°-30°=15°．
綜上所述，∠BAC=15°或75°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條�。�也考查了銳角三角函數(shù)的定義．