Question

如圖，以O(shè)為圓心的弧

BD

度數(shù)為60°，∠BOE=45°，DA⊥OB，EB⊥OB．
（1）求

BE

DA

的值；
（2）若OE與

BD

交于點(diǎn)M，OC平分∠BOE，連接CM．說明CM為⊙O的切線；
（3）在（2）的條件下，若BC=1，求tan∠BCO的值．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定,全等三角形的判定與性質(zhì),勾股定理,解直角三角形

專題：

分析：（1）求出OB=BE，在Rt△OAD中，sin∠AOD=

AD

OD

=

3

2

，代入求出即可；
（2）求出∠BOC=∠MOC，證△BOC≌△MOC，推出∠CMO=∠OBC=90°，根據(jù)切線的判定推出即可；
（3）求出CM=ME，MC=BC，求出BC=MC=ME=1，在Rt△MCE中，根據(jù)勾股定理求出CE=

2

，求出OB=

2

+1，解直角三角形得出tan∠BCO=

2

+1，即可得出答案．

解答：解：（1）∵EB⊥OB，∠BOE=45°，
∴∠E=45°，
∴∠E=∠BOE，
∴OB=BE，
在Rt△OAD中，sin∠AOD=

AD

OD

=

3

2

，
∵OD=OB=BE，
∴

BE

DA

=

2

3

=

2 3

3

；

（2）∵OC平分∠BOC，
∴∠BOC=∠MOC，
在△BOC和△MOC中，

OB=OM ∠BCO=∠MOC OC=OC

∴△BOC≌△MOC（SAS），
∴∠CMO=∠OBC=90°，
又∵CM過半徑OM的外端，
∴CM為⊙O的切線；

（3）由（1）（2）證明知∠E=45°，OB=BE，△BOC≌△MOC，CM⊥ME，
∵CM⊥OE，∠E=45°，
∴∠MCE=∠E=45°，
∴CM=ME，
又∵△BOC≌△MOC，
∴MC=BC，
∴BC=MC=ME=1，
∵M(jìn)C=ME=1，
∴在Rt△MCE中，根據(jù)勾股定理，得CE=

2

，
∴OB=BE=

2

+1，
∵tan∠BCO=

OB

BC

，OB=

2

+1，BC=1，
∴tan∠BCO=

2

+1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，切線長定理等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，綜合性比較強(qiáng)，難度偏大．