Question

在△ABC中，AB=2

2

，∠ABC=45°，AC=

5

，將射線AC繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)45°與直線BC交于點(diǎn)E，則線段CE的長為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

專題：分類討論

分析：分類討論：當(dāng)△ABC為銳角三角形，作AD⊥BC于D，易得△ABD為等腰直角三角形，則AD=BD=

2

2

AB=2，在Rt△ACD中，利用勾股定理計算出CD=1，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠1=45°，然后證明△EAC∽△EBA，利用相似比得到AE²=CE•BE，即AE²=CE•（BD+CD+CE）=CE•（3+CE），而在Rt△ADE中，利用勾股定理得AE²=AD²+DE²=4+（1+CE）²，所以CE•（3+CE）=4+（1+CE）²，解方程得到CE=5；當(dāng)△ABC為鈍角三角形，作AD⊥BC于D，同理可得AD=BD=2，CD=1，則BC=BD-CD=1，同樣證明△EAC∽△EBA，得到AE²=CE•BE，即AE²=CE•（BC+CE）=CE•（1+CE），在Rt△ADE中，根據(jù)勾股定理得AE²=AD²+DE²=4+（CE-1）²，所以CE•（1+CE）=4+（CE-1）²，然后接方程得CE=

5

3

，于是得到CE的長為

5

3

或5．

解答：解：當(dāng)△ABC為銳角三角形，如圖1，
作AD⊥BC于D，
∵∠ABC=45°，
∴△ABD為等腰直角三角形，
∴AD=BD=

2

2

AB=

2

2

×2

2

=2，
在Rt△ACD中，AC=

5

，AD=2，
∴CD=

AC2-CD2

=1，
∵射線AC繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)45°與直線BC交于點(diǎn)E，
∴∠1=45°，
而∠B=45°，
∴∠1=∠B，
而∠AEC=∠BEA，
∴△EAC∽△EBA，
∴CE：AE=AE：BE，即AE²=CE•BE，
∴AE²=CE•（BD+CD+CE）=CE•（3+CE），
在Rt△ADE中，AE²=AD²+DE²=4+（1+CE）²，
∴CE•（3+CE）=4+（1+CE）²，解得CE=5；
當(dāng)△ABC為鈍角三角形，如圖2，
作AD⊥BC于D，同理可得AD=BD=2，CD=1，
∴BC=BD-CD=1，
∵射線AC繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)45°與直線BC交于點(diǎn)E，
∴∠CAE=45°，
而∠B=45°，
∴∠CAE=∠B，
∴△EAC∽△EBA，
∴CE：AE=AE：BE，即AE²=CE•BE，
∴AE²=CE•（BC+CE）=CE•（1+CE），
在Rt△ADE中，AE²=AD²+DE²=4+（CE-1）²，
∴CE•（1+CE）=4+（CE-1）²，解得CE=

5

3

，
∴CE的長為

5

3

或5．
故答案為

5

3

或5．

點(diǎn)評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理．