如圖,已知拋物線y=
3
4
x2+bx+c與坐標軸交于A、B、C三點,A點的坐標為(-1,0),過點C的直線y=
3
4t
x-3與x軸交于點Q,點P是線段BC上的一個動點,過P作PH⊥OB于點H.若PB=5t,且0<t<1.
(1)填空:點C的坐標是______,b=______,c=______;
(2)求線段QH的長(用含t的式子表示);
(3)依點P的變化,是否存在t的值,使以P、H、Q為頂點的三角形與△COQ相似?若存在,求出所有t的值;若不存在,說明理由.
(1)(0,-3),b=-
9
4
,c=-3;

(2)由(1),得y=
3
4
x2-
9
4
x-3,它與x軸交于A,B兩點,得B(4,0).
∴OB=4,
又∵OC=3,
∴BC=5.
由題意,得△BHP△BOC,
∵OC:OB:BC=3:4:5,
∴HP:HB:BP=3:4:5,
∵PB=5t,∴HB=4t,HP=3t.
∴OH=OB-HB=4-4t.
由y=
3
4t
x-3與x軸交于點Q,得Q(4t,0).
∴OQ=4t.
①當H在Q、B之間時,QH=OH-OQ=(4-4t)-4t=4-8t.
②當H在O、Q之間時,QH=OQ-OH=4t-(4-4t)=8t-4.
綜合①,②得QH=|4-8t|;

(3)存在t的值,使以P、H、Q為頂點的三角形與△COQ相似.
①當H在Q、B之間時,QH=4-8t,
若△QHP△COQ,則QH:CO=HP:OQ,得
4-8t
3
=
3t
4t
,
∴t=
7
32

若△PHQ△COQ,則PH:CO=HQ:OQ,得
3t
3
=
4-8t
4t
,
即t2+2t-1=0.
∴t1=
2
-1,t2=-
2
-1(舍去).
②當H在O、Q之間時,QH=8t-4.
若△QHP△COQ,則QH:CO=HP:OQ,得
8t-4
3
=
3t
4t
,
∴t=
25
32

若△PHQ△COQ,則PH:CO=HQ:OQ,得
3t
3
=
8t-4
4t
,
即t2-2t+1=0.
∴t1=t2=1(舍去).
綜上所述,存在t的值,t1=
2
-1,t2=
7
32
,t3=
25
32
練習冊系列答案
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如圖,直線y=3x+3交x軸于A點,交y軸于B點,過A、B兩點的拋物線交x軸于另一點C(3,0).
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(2)求拋物線的解析式;
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(2)如果AB=2AD=4,且A、B、C、D四點在同一拋物線上,請在圖中建立適當?shù)闹苯亲鴺讼担蟪鲈搾佄锞的解析式.
(3)在(2)中所求拋物線上是否存在點P,使得S△PAB=
1
2
S四邊形ABCD?若存在,求出P的坐標;若不存在,說明理由.

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科目:初中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

如圖,對稱軸為直線x=-
7
2
的拋物線經(jīng)過點A(-6,0)和點B(0,4).
(1)求拋物線的解析式和頂點坐標;
(2)設點E(x,y)是拋物線上的一個動點,且位于第三象限,四邊形OEAF是以OA為對角線的平行四邊形,求?OEAF的面積S與x的函數(shù)關系式,并寫出自變量x的取值范圍;
①當?OEAF的面積為24時,請判斷?OEAF是否為菱形?
②是否存在點E,使?OEAF為正方形?若存在,求出點E的坐標;若不存在,請說明理由.•

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拋物線y=-x2+(m-1)x+m與y軸交于(0,3)點,
(1)求出m的值;
(2)求拋物線與x軸的交點坐標;
(3)直接寫出x取何值時,拋物線位于x軸上方.

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科目:初中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

如圖,在平面直角坐標系中,拋物線y=-
1
2
x2+bx+c
經(jīng)過A(-2,0),C(4,0)兩點,和y軸相交于點B,連接AB、BC.
(1)求拋物線的解析式(關系式).
(2)在第一象限外,是否存在點E,使得以BC為直角邊的△BCE和Rt△AOB相似?若存在,請簡要說明如何找到符合條件的點E,然后直接寫出點E的坐標,并判斷是否有滿足條件的點E在拋物線上;若不存在,請說明理由.
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(2)是否存在實數(shù)k,使經(jīng)過D,O,E三點的圓與拋物線的交點恰好為B?若存在,請求出時k的值;若不存在,請說明理由.
(3)如圖(2),連接CE,已知點F(0,1),直線FA與CE相交于點M,不論k取何值,在①∠EAM=∠ECA,②∠EAM=∠ACF兩個等式中有一個恒成立.請判斷哪一個恒成立,并證明這個成立的結(jié)論.

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