Question

【題目】如圖，在邊長(zhǎng)為 4 的等邊△ABC 中，點(diǎn) D 從點(diǎn)A 開(kāi)始在射線 AB 上運(yùn)動(dòng)，速度為 1 個(gè)單位/秒，點(diǎn)F 同時(shí)從 C 出發(fā)，以相同的速度沿射線 BC 方向運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)D 作 DE⊥AC，連結(jié) DF 交射線 AC 于點(diǎn) G

(1)當(dāng) DF⊥AB 時(shí)，求 t 的值；

(2)當(dāng)點(diǎn) D 在線段 AB 上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否始終有 DG=GF?若成立，請(qǐng)說(shuō)明理由。

(3)聰明的斯揚(yáng)同學(xué)通過(guò)測(cè)量發(fā)現(xiàn)，當(dāng)點(diǎn) D 在線段 AB 上時(shí)，EG 的長(zhǎng)始終等于 AC 的一半，他想當(dāng)點(diǎn)D 運(yùn)動(dòng)到圖 2 的情況時(shí)，EG 的長(zhǎng)是否發(fā)生變化?若改變，說(shuō)明理由；若不變，求出 EG 的長(zhǎng)。

Answer 1

【答案】（1）；（2）見(jiàn)詳解；（3）不變.

【解析】

（1）設(shè)AD=x，則BD=4-x，BF=4+x．當(dāng)DF⊥AB時(shí)，通過(guò)解直角△BDF求得x的值，易得t的值；
（2）如圖1，過(guò)點(diǎn)D作DH∥BC交AC于點(diǎn)H，構(gòu)建全等三角形：△DHG≌△FCG，結(jié)合全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等的性質(zhì)和圖中相關(guān)線段間的和差關(guān)系求得DG=GF；
（3）過(guò)F作FH⊥AC，可證△ADE≌△CFH，得DE=FH，AC=EH，再證△GDE≌△GFH，可得EG=GH，即可解題．

解：（1）設(shè)AD=x，則BD=4-x，BF=4+x．
當(dāng)DF⊥AB時(shí)，∵∠B=60°，
∴∠DFB=30°，
∴BF=2BD，即4+x=2（4-x），
解得x=，
故t=；

（2）如圖1，過(guò)點(diǎn)D作DH∥BC交AC于點(diǎn)H，則∠DHG=∠FCG．

∵△ABC是等邊三角形，
∴△ADH是等邊三角形，
∴AD=DH．
又AD=CF，
∴DH=FC．
∵在△DHG與△FCG中，

，
∴△DHG≌△FCG（AAS），
∴DG=GF；

（3）如圖2，過(guò)F作FH⊥AC，
在△ADE和△CFH中，

，
∴△ADE≌△CFH（AAS），
∴DE=FH，AE=CH，
∴AC=EH，
在△GDE和△GFH中，

∴△GDE≌△GFH（AAS），
∴EG=GH，
∴EG=EH=AC．