【題目】(1)觀察推理:如圖1,△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,直線l過點C,點A,B在直線l同側(cè),BD⊥l,AE⊥l,垂足分別為D,E.求證:△AEC≌△CDB;
(2)類比探究:如圖2,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=2,將斜邊AB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至AB',連接B′C,求△AB′C的面積.
(3)拓展提升:如圖3,等邊△EBC中,EC=BC=3cm,點O在BC上且OC=2cm,動點P從點E沿射線EC以lcm/s速度運動,連接OP,將線段OP繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)120°得到線段OF,設(shè)點P運動的時間為t秒.
①當t=______秒時,OF∥ED.
②當t=______秒時,點F恰好落在射線EB上.
【答案】(1)見解析;(2)2;(3)①1;②4
【解析】
(1)先利用等角的余角相等得到∠EAC=∠BCD,根據(jù)“AAS”證明△AEC≌△CDB即可;(2)如圖,作B′D⊥AC于D,利用等角的余角相等得到∠B=∠B′AC,利用AAS可證明△B′AD≌△ABC,得到B′D=AC=2,然后根據(jù)三角形面積公式計算即可得答案;(3)①如圖,由題意得EP=t,則PC=3﹣t,由平行線的性質(zhì)可得∠FOC=BCE=60°,根可旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠PQC=60°,可證明△COP是等邊三角形,可得PC=OC=2,即可求t的值;②如圖,利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠FOP=120°,OP=OF,利用外角性質(zhì)及角的和差關(guān)系可得∠1=∠3,利用AAS可證明△BOF≌△CPO,可得PC=OB=1,則EP=EC+PC=4,然后計算點P運動的時間t即可.
(1)∵BD⊥l,AE⊥l,
∴∠AEC=∠BDC=90°,
∵∠EAC+∠ACE=90°,∠BCD+∠ACE=90°,
∴∠EAC=∠BCD,
在△AEC和△CDB中,
∴△AEC≌△CDB(AAS).
(2)如圖,作B′D⊥AC于D,
∴∠ADB′=90°,
∵斜邊AB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至AB′,
∴AB′=AB,∠B′AB=90°,即∠B′AC+∠BAC=90°,
∵∠B+∠CAB=90°,
∴∠B=∠B′AC,
在△B′AD和△ABC中,
∴△B′AD≌△ABC(AAS),
∴B′D=AC=2,
∴△AB′C的面積=AC·B′D=×2×2=2.
(3)①如圖,由題意得:EP=t,則PC=3﹣t,
∵OF∥ED
∴∠FOC=BCE,
∵線段OP繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)120°得到線段OF,
∴∠POF=120°,
∴∠POC=60°,
∵△BEC是等邊三角形,
∴∠BCE=60°
∴△COP是等邊三角形,
∴PC=OC=2,
∴2=3﹣t,
∴t=1,
即當t=1秒時,OF∥ED,
故答案為:1
②如圖,∵OC=2,
∴OB=BC﹣OC=1,
∵線段OP繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)120°得到線段OF,
∴∠FOP=120°,OP=OF,
∴∠1+∠2=60°,
∵△BCE為等邊三角形,
∴∠BCE=∠CBE=60°,
∴∠FBO=120°,∠PCO=120°,
∴∠2+∠3=∠BCE=60°,
∴∠1=∠3,
在△BOF和△CPO,,
∴△BOF≌△CPO(AAS),
∴PC=OB=1,
∴EP=EC+PC=3+1=4,
∴點P運動的時間t==4s,
故答案為:4
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,某班數(shù)學(xué)興趣小組利用數(shù)學(xué)知識測量建筑物DEFC的高度.他們從點A出發(fā)沿著坡度為i=1:2.4的斜坡AB步行26米到達點B處,此時測得建筑物頂端C的仰角α=35°,建筑物底端D的俯角β=30°.若AD為水平的地面,則此建筑物的高度CD約為( )米.(參考數(shù)據(jù):≈1.7,tan35°≈0.7)
A. 23.1 B. 21.9 C. 27.5 D. 30
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,AD⊥BC于D,AD=BD,AC=BE.
(1)求證:∠BED=∠C;
(2)猜想并說明BE和AC有什么數(shù)量和位置關(guān)系。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在四邊形ABCD中∠C=55°,∠B=∠D=90°,E,F分別是BC,DC上的點,當△EAF周長最小時,∠EAF的度數(shù)為( )
A.55°B.70°C.125°D.110°
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標系中,的頂點坐標分別為A(2,3)、B (1,1)、C(2,1)
(1)畫出關(guān)于軸對稱的,并寫出點的坐標為_________
(2)將向左平移4個單位長度得到,直接寫出點的坐標為_________
(3)直接寫出點B關(guān)于直線n(直線n上各點的縱坐標都為-1)對稱點B'的坐標為________
(4)在軸上找一點P,使PA+PB的值最小,標出P點的位置(保留畫圖痕跡)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知動點A在函數(shù)y=(x>0)的圖象上,AB⊥x軸于點B,AC⊥y軸于點C,延長CA至點D,使AD=AB,延長BA至點E,使AE=AC,直線DE分別交x軸,y軸于點P,Q,當QE:DP=9:25時,圖中的陰影部分的面積等于___.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,在△ABC中,∠BAC=106°,EF、MN分別是AB、AC的垂直平分線,點E、N在BC上,則∠EAN=_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】我們經(jīng)常遇到需要分類的問題,畫“樹形圖”可以幫我們不重復(fù)、不遺漏地分類.
(例題)在等腰三角形ABC中,若∠A=80°,求∠B的度數(shù).
∠A、∠B都可能是頂角或底角,因此需要分成如圖1所示的3類,這樣的圖就是樹形圖,據(jù)此可求出∠B=
(應(yīng)用)
(1)已知等腰三角形ABC周長為19,AB=7,仿照例題畫出樹形圖,并直接寫出BC的長度;
(2)將一個邊長為5、12、13的直角三角形拼上一個三角形后可以拼成一個等腰三角形,圖2就是其中的一種拼法,請你畫出其他所有可能的情形,并在圖上標出所拼成等腰三角形的腰的長度.(選用圖3中的備用圖畫圖,每種情形用一個圖形單獨表示,并用①、②、③…編號,若備用圖不夠,請自己畫圖補充)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:如圖,在△ABC中,AB=AC=5,BC=8,D,E分別為BC,AB邊上一點,∠ADE=∠C.
(1)求證:△BDE∽△CAD;
(2)若CD=2,求BE的長.
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