Question

如圖，PA為⊙O的切線，A為切點(diǎn)，直線PO平分弦AB交AB于點(diǎn)D，交⊙O于點(diǎn)E、F，
（1）試判斷直線PB與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（2）如PA=6，tan∠APB=

4

3

，求⊙O的半徑長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）連接OA、OB，根據(jù)垂徑定理得出AB⊥OP，推出AP=BP，∠APO=∠BPO，證△PAO≌△PBO，推出∠PBO=∠PAO=90°，根據(jù)切線的判定推出即可；
（2）延長(zhǎng)AO即可直線PB于M，交⊙O于N，在Rt△MAP中，PA=6，tan∠APB=

4

3

=

AM

AP

，求出AM，由勾股定理求出PM=10，求出BM=4，設(shè)⊙O的半徑為R，在Rt△OBM中，由勾股定理得出（8-R）²=R²+4²，求出即可．

解答：解：（1）直線PB與⊙O的位置關(guān)系是相切，
理由是：連接OA、OB，
∵OP平分AB，OP過(guò)O，
∴AB⊥OP，
∴AP=BP，
∴∠APO=∠BPO，
∵PA切⊙O于A，
∴∠PAO=90°，
在△PAO和△PBO中

AP=BP ∠APO=∠BPO OP=OP

∴△PAO≌△PBO（SAS），
∴∠PBO=∠PAO=90°，
即OB⊥PB，
∴PB是⊙O的切線；

（2）
延長(zhǎng)AO即可直線PB于M，交⊙O于N，
∵在Rt△MAP中，PA=6，tan∠APB=

4

3

=

AM

AP

，
∴AM=8，
由勾股定理得：PM=10，
∵PA=PB=6，
∴BM=10-6=4，
設(shè)⊙O的半徑為R，
在Rt△OBM中，由勾股定理得：OM²=OB²+BM²，
則（8-R）²=R²+4²，
解得：R=3，
即⊙O的半徑長(zhǎng)是3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了垂徑定理，切線的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定，解直角三角形，勾股定理的應(yīng)用，題目綜合性比較強(qiáng)，有一定的難度．