Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4cm，BC=3cm，⊙O為△ABC的內(nèi)切圓．
（1）求⊙O的半徑；
（2）點P從點B沿邊BA向點A以1cm/s的速度勻速運動，以P為圓心，PB長為半徑作圓，設點P運動的時間為t s，若⊙P與⊙O相切，求t的值．

Answer 1

考點：圓的綜合題

專題：幾何圖形問題,壓軸題,動點型

分析：（1）求圓的半徑，因為相切，我們通常連接切點和圓心，設出半徑，再利用圓的性質和直角三角形性質表示其中關系，得到方程，求解即得半徑．
（2）考慮兩圓相切，且一圓已固定，一般就有兩種情形，外切與內(nèi)切．所以我們要分別討論，當外切時，圓心距等于兩圓半徑的和；當內(nèi)切時，圓心距等于大圓與小圓半徑的差．分別作垂線構造直角三角形，類似（1）通過表示邊長之間的關系列方程，易得t的值．

解答：解：（1）如圖1，設⊙O與AB、BC、CA的切點分別為D、E、F，連接OD、OE、OF，

則AD=AF，BD=BE，CE=CF．
∵⊙O為△ABC的內(nèi)切圓，
∴OF⊥AC，OE⊥BC，即∠OFC=∠OEC=90°．
∵∠C=90°，
∴四邊形CEOF是矩形，
∵OE=OF，
∴四邊形CEOF是正方形．
設⊙O的半徑為rcm，則FC=EC=OE=rcm，
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4cm，BC=3cm，
∴AB=

AC2+BC2

=5cm．
∵AD=AF=AC-FC=4-r，BD=BE=BC-EC=3-r，
∴4-r+3-r=5，
解得 r=1，即⊙O的半徑為1cm．

（2）如圖2，過點P作PG⊥BC，垂足為G．

∵∠PGB=∠C=90°，
∴PG∥AC．
∴△PBG∽△ABC，
∴

PG

AC

=

BG

BC

=

BP

BA

．
∵BP=t，
∴PG=

AC

BA

×BP=

4

5

t，BG=

BC

BA

×BP=

3

5

t．
若⊙P與⊙O相切，則可分為兩種情況，⊙P與⊙O外切，⊙P與⊙O內(nèi)切．
①當⊙P與⊙O外切時，

如圖3，連接OP，則OP=1+t，過點P作PH⊥OE，垂足為H．
∵∠PHE=∠HEG=∠PGE=90°，
∴四邊形PHEG是矩形，
∴HE=PG，PH=GE，
∴OH=OE-HE=1-

4

5

t，PH=GE=BC-EC-BG=3-1-

3

5

t=2-

3

5

t．
在Rt△OPH中，
由勾股定理，(1-

4

5

t)2+(2-

3

5

t)2=(1+t)2，
解得 t=

2

3

．

②當⊙P與⊙O內(nèi)切時，

如圖4，連接OP，則OP=t-1，過點O作OM⊥PG，垂足為M．
∵∠MGE=∠OEG=∠OMG=90°，
∴四邊形OEGM是矩形，
∴MG=OE，OM=EG，
∴PM=PG-MG=

4

5

t-1，
OM=EG=BC-EC-BG=3-1-

3

5

t=2-

3

5

t，
在Rt△OPM中，
由勾股定理，(

4

5

t-1)2+(2-

3

5

t)2=(t-1)2，
解得 t=2．
綜上所述，⊙P與⊙O相切時，t=

2

3

s或t=2s．

點評：本題考查了圓的性質、兩圓相切及通過設邊長，表示其他邊長關系再利用直角三角形求解等常規(guī)考查點，總體題目難度不高，是一道非常值得練習的題目．