Question

如圖，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，垂足為E．
（1）求證：CD=BE；                                    
（2）已知CD=2，求AC的長；
（3）求證：AB=AC+CD．

Answer 1

考點：角平分線的性質,等腰直角三角形

專題：

分析：（1）先根據(jù)題意判斷出△ABC是等腰直角三角形，故∠B=45°，再由DE⊥AB可知△BDE是等腰直角三角形，故DE=BE，再根據(jù)角平分線的性質即可得出結論；
（2）由（1）知，△BDE是等腰直角三角形，DE=BE=CD，再根據(jù)勾股定理求出BD的長，進而可得出結論；
（3）先根據(jù)HL定理得出Rt△ACD≌Rt△AED，故AE=AC，再由CD=BE可得出結論．

解答：（1）證明：∵在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠B=45°，
∵DE⊥AB，
∴△BDE是等腰直角三角形，
∴DE=BE．
∵AD是△ABC的角平分線，
∴CD=DE，
∴CD=BE；

（2）解：∵由（1）知，△BDE是等腰直角三角形，DE=BE=CD，
∴DE=BE=CD=2，
∴BD=

DE2+BE2

=

22+22

=2

2

，
∴AC=BC=CD+BD=2+2

2

；

（3）證明：∵AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，
∴CD=DE．
在Rt△ACD與Rt△AED中，
∵

AD=AD CD=DE

，
∴Rt△ACD≌Rt△AED，
∴AE=AC．
∵由（1）知CD=BE，
∴AB=AE+BE=AC+CD．

點評：本題考查的是角平分線的性質，熟知角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等是解答此題的關鍵．