Question

如圖，直線MN與x軸，y軸分別相交于A，C兩點(diǎn)，分別過(guò)A，C兩點(diǎn)作x軸，y軸的垂線相交于B點(diǎn)，且OA，OC（OA＞OC）的長(zhǎng)分別是一元二次方程x²﹣14x+48=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根．

（1）求C點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）求直線MN的解析式；
（3）在直線MN上存在點(diǎn)P，使以點(diǎn)P，B，C三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，請(qǐng)直接寫(xiě)出P點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

（1）C（0，6）。
（2）y=x+6。
（3）P₁（4，3），P₂（）P₃（），P₄（）。

試題分析：（1）通過(guò)解方程x²﹣14x+48=0可以求得OC=6，OA=8．則C（0，6）。
解方程x²﹣14x+48=0得x₁=6，x₂=8。
∵OA，OC（OA＞OC）的長(zhǎng)分別是一元二次方程x²﹣14x+48=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴OC=6，OA=8．∴C（0，6）。
（2）設(shè)直線MN的解析式是y=kx+b（k≠0），把點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別代入解析式，列出關(guān)于系數(shù)k、b的方程組，通過(guò)解方程組即可求得它們的值。
設(shè)直線MN的解析式是y=kx+b（k≠0），
由（1）知，OA=8，則A（8，0）。
∵點(diǎn)A、C都在直線MN上，
∴，解得。
∴直線MN的解析式為y=x+6。
（3）需要分類(lèi)討論：PB為腰，PB為底兩種情況下的點(diǎn)P的坐標(biāo)．根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理以及一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征進(jìn)行解答：

∵A（8，0），C（0，6），∴根據(jù)題意知B（8，6）。
∵點(diǎn)P在直線MN：y=x+6上，∴設(shè)P（a， a+6）。
當(dāng)以點(diǎn)P，B，C三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形時(shí)，需要分類(lèi)討論：
①當(dāng)PC=PB時(shí)，點(diǎn)P是線段BC的中垂線與直線MN的交點(diǎn)，則P₁（4，3）。
②當(dāng)PC=BC時(shí)，a²+（a+6﹣6）²=64，解得，a=，則P₂（），P₃（）。
③當(dāng)PB=BC時(shí)，（a﹣8）²+（a+6﹣6）²=64，解得，a=，則P₄（）。
綜上所述，符合條件的點(diǎn)P有：P₁（4，3），P₂（）P₃（），P₄（）。