Question

如圖，菱形ABCD中，點(diǎn)E,M在A,D上，且CD=CM，點(diǎn)F為AB上的點(diǎn)，且∠ECF=∠B

（1）若菱形ABCD的周長為8，且∠D=67.5°，求△MCD的面積。

（2）求證：BF=EF-EM

 

 

Answer 1

(1) ；(2)證明見解析.

【解析】

試題分析：（1）首先過點(diǎn)D作DH⊥MC于點(diǎn)H，由菱形ABCD的周長為8，且∠D=67.5°，易求得∠2=∠D=67.5°，∠DCH=45°，CM=2，然后由勾股定理求得DH的長，繼而求得△MCD的面積；

（2）首先延長AB到N，使BN=EM，連接CN，易證得△BNC≌△MEC（SAS），繼而證得△NCF≌△ECF（SAS），則可證得BF=EF-EM．

試題解析：（1）過點(diǎn)D作DH⊥MC于點(diǎn)H，

∵菱形ABCD的周長為8，

∴CD=2，

∵CD=CM，且∠D=67.5°，

∴∠2=∠D=67.5°，∠DCH=45°，CM=2，

在Rt△CDH中，DH=DC×sin45°=，

∴S△MCD=CM•DH=×2×=；

（2）延長AB到N，使BN=EM，連接CN，

∵CD=CM，CD=CB，且∠ABC=∠D，

∴BC=CM，∠1=∠2=∠ABC，

∵∠1+∠ABC=∠2+∠5

∴∠1=∠5

在△BNC和△MEC中，

，

∴△BNC≌△MEC（SAS），

∴∠4=∠3，NE=NC，

∵AD∥BC，

∴∠2=∠BCM=∠ABC，

∵∠ECF=∠ABC，

∴∠3+∠BCF=∠4+∠BCF=∠ECF，

在△NCF和△ECF中，

，

∴△NCF≌△ECF（SAS），

∴FN=EF，

EF=FB+NB=FB+EM，

∴FB=EF-EM．

考點(diǎn):1.菱形的性質(zhì)；2.全等三角形的判定與性質(zhì)．