Question

如圖，拋物線y=x²-2x-3與x軸交于A，B兩點(diǎn)，M為其頂點(diǎn)，P為拋物線第一象限內(nèi)一點(diǎn)，若以PM為直徑的⊙O′恰好過(guò)點(diǎn)A，求P點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題

專(zhuān)題：

分析：由拋物線y=x²-2x-3與x軸交于A，B兩點(diǎn)，可得A，B的坐標(biāo)，由M為拋物線y=x²-2x-3的頂點(diǎn)，可得M的坐標(biāo)．設(shè)P（x，y），可求得MP的中點(diǎn)N的坐標(biāo)，可求得PM及AN的長(zhǎng)，由PM=2AN，列出方程，化簡(jiǎn)得2y-x=1，由P（x，y）在拋物線y=x²-2x-3上，列出方程解得x的值，把x=

7

2

代入求出y的值，即可得出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答：解：∵拋物線y=x²-2x-3與x軸交于A，B兩點(diǎn)，
∴令x²-2x-3=0，解得x₁=-1，x₂=3，
∴A（-1，0），B（3，0），
∵M(jìn)為拋物線y=x²-2x-3的頂點(diǎn)，
∴M（1，-4）．設(shè)P（x，y），
∴MP的中點(diǎn)N的坐標(biāo)為（

x+1

2

，

y-4

2

），
∴PM=

(x-1)2+(y+4)2

，
AN=

( x+1 2 +1)2+( y-4 2 )2

，
∵PM=2AN，
∴

(x-1)2+(y+4)2

=2

( x+1 2 +1)2+( y-4 2 )2

，化簡(jiǎn)得，2y-x=1，
又∵P（x，y）在拋物線y=x²-2x-3上，
∴

1+x

2

=x²-2x-3，解得x₁=-1（舍去），x₂=

7

2

，
把x=

7

2

代入y=

49

4

-7-3=

9

4

．
∴P（

7

2

，

9

4

）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了圓的綜合題，解題的關(guān)鍵是利用R=2r列出方程求解．