Question

二次函數(shù)y=ax²+bx+c （a≠0）的圖象如圖，給出下列四個(gè)結(jié)論：
①4ac-b²＜0；②4a+c＜2b；③3b+2c＜0；④n（an+b）+b＞a（n≠-1），
其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（　　）

• A、4個(gè)
• B、3個(gè)
• C、2個(gè)
• D、1個(gè)

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系

專(zhuān)題：計(jì)算題

分析：根據(jù)拋物線與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)可對(duì)①進(jìn)行判斷；根據(jù)拋物線的對(duì)稱(chēng)性得到拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)在（-2，0）與（-3，0）之間，則x=-2時(shí)，y＞0，即4a-2b+c＞0，則可對(duì)②進(jìn)行判斷；由拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=-

b

2a

=-1得到a=

b

2

，再利用x=1時(shí)，y＜0得到a+b+c＜0，則

b

2

+b+c＜0，于是可對(duì)③進(jìn)行判斷；根據(jù)二次函數(shù)的最值問(wèn)題得到an²+bn+c＜a-b+c（n≠-1），即n（an+b）+b＜a，則可對(duì)④進(jìn)行判斷．

解答：解：∵拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)，
∴b²-4ac＞0，即4ac-b²＜0，所以①正確；
∵拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)在（0，0）與（1，0）之間，
而拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=-1，
∴拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)在（-2，0）與（-3，0）之間，
∴x=-2時(shí)，y＞0，
∴4a-2b+c＞0，即4a+c＞2b，所以②錯(cuò)誤；
∵拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=-

b

2a

=-1，
∴a=

b

2

，
∵x=1時(shí)，y＜0，
∴a+b+c＜0，
∴

b

2

+b+c＜0，即3b+2c＜0，所以③正確；
∵x=-1時(shí)，函數(shù)值有最大值a-b+c，
∴an²+bn+c＜a-b+c（n≠-1），
∴n（an+b）+b＜a，所以④錯(cuò)誤．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系：對(duì)于二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0），二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線的開(kāi)口方向和大�。寒�(dāng)a＞0時(shí)，拋物線向上開(kāi)口，當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線向下；一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對(duì)稱(chēng)軸的位置：當(dāng)a與b同號(hào)時(shí)（即ab＞0），對(duì)稱(chēng)軸在y軸左； 當(dāng)a與b異號(hào)時(shí)（即ab＜0），對(duì)稱(chēng)軸在y軸右．（簡(jiǎn)稱(chēng)：左同右異）；常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線與y軸交點(diǎn)． 拋物線與y軸交于（0，c）；△=b²-4ac＞0時(shí)，拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)；△=b²-4ac=0時(shí)，拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)；△=b²-4ac＜0時(shí)，拋物線與x軸沒(méi)有交點(diǎn)．