Question

二次函數(shù)y=ax²+bx+c （a≠0）的圖象如圖，給出下列四個結(jié)論：
①4ac-b²＜0；②4a+c＜2b；③3b+2c＜0；④n（an+b）+b＞a（n≠-1），
其中正確結(jié)論的個數(shù)是（　　）

• A、4個
• B、3個
• C、2個
• D、1個

Answer 1

考點：二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系

專題：計算題

分析：根據(jù)拋物線與x軸的交點個數(shù)可對①進行判斷；根據(jù)拋物線的對稱性得到拋物線與x軸的另一個交點在（-2，0）與（-3，0）之間，則x=-2時，y＞0，即4a-2b+c＞0，則可對②進行判斷；由拋物線的對稱軸為直線x=-

b

2a

=-1得到a=

b

2

，再利用x=1時，y＜0得到a+b+c＜0，則

b

2

+b+c＜0，于是可對③進行判斷；根據(jù)二次函數(shù)的最值問題得到an²+bn+c＜a-b+c（n≠-1），即n（an+b）+b＜a，則可對④進行判斷．

解答：解：∵拋物線與x軸有2個交點，
∴b²-4ac＞0，即4ac-b²＜0，所以①正確；
∵拋物線與x軸的一個交點在（0，0）與（1，0）之間，
而拋物線的對稱軸為直線x=-1，
∴拋物線與x軸的另一個交點在（-2，0）與（-3，0）之間，
∴x=-2時，y＞0，
∴4a-2b+c＞0，即4a+c＞2b，所以②錯誤；
∵拋物線的對稱軸為直線x=-

b

2a

=-1，
∴a=

b

2

，
∵x=1時，y＜0，
∴a+b+c＜0，
∴

b

2

+b+c＜0，即3b+2c＜0，所以③正確；
∵x=-1時，函數(shù)值有最大值a-b+c，
∴an²+bn+c＜a-b+c（n≠-1），
∴n（an+b）+b＜a，所以④錯誤．
故選C．

點評：本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系：對于二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0），二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大�。寒攁＞0時，拋物線向上開口，當a＜0時，拋物線向下；一次項系數(shù)b和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的位置：當a與b同號時（即ab＞0），對稱軸在y軸左； 當a與b異號時（即ab＜0），對稱軸在y軸右．（簡稱：左同右異）；常數(shù)項c決定拋物線與y軸交點． 拋物線與y軸交于（0，c）；△=b²-4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點；△=b²-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點；△=b²-4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點．