Question

如圖，在矩形ABCD中，點E是邊CD的中點，將△ADE沿AE折疊后得到△AFE，且點F在矩形ABCD內(nèi)部．將AF延長交邊BC于點G，連接EG、DF、CF．
（1）△AEG、△DFC是直角三角形；（2）EG∥DF；（3）CG=

1

4

AD；（4）若

CG

BG

=k，則

AD

AB

=

k+1

2

．
上述說法正確的有（　�。﹤�．

• A、4
• B、3
• C、2
• D、1

Answer 1

考點：翻折變換（折疊問題）

專題：

分析：連接EG，如圖，根據(jù)折疊的性質(zhì)得ED=EF，∠AED=∠AEF，∠AFE=∠ADE=90°，由ED=EC得到EC=EF，則利用“HL”可判斷Rt△EGF≌Rt△EGC，則∠CEG=∠FEG，于是有∠AEG=

1

2

∠DEF+

1

2

∠CEF=90°，即△AEG為直角三角形；由于EF=ED=EC，根據(jù)圓周角定理的推論得△DFC為直角三角形，則可對（1）進行判斷；根據(jù)折疊得到DF⊥AE，而EG⊥AE，根據(jù)平行線的判定得到EG∥DF，于是可對（2）進行判斷；由Rt△EGF≌Rt△EGC得CG=FG，設(shè)CG=k，BG=1，則AD=BC=k+1，F(xiàn)G=k，利用折疊的性質(zhì)得AF=AD=k+1，則AG=AF+FG=2k+1，在Rt△ABG中，根據(jù)勾股定理計算出AB=2

k2+k

，則

AD

AB

=

k+1

2 k

，則可對（4）進行判斷；由于只有當(dāng)k=

1

3

時，即

CG

BG

=

1

3

，才有CG=

1

4

BC=

1

4

AD，由此可對（3）進行判斷．

解答：解：連接EG，如圖，
∵△ADE沿AE折疊后得到△AFE，
∴ED=EF，∠AED=∠AEF，∠AFE=∠ADE=90°，
∵ED=EC，
∴EC=EF，
在Rt△EGF和Rt△EGC中

EG=EF EG=EG

，
∴Rt△EGF≌Rt△EGC，
∴∠CEG=∠FEG，
∴∠AEG=

1

2

∠DEF+

1

2

∠CEF=

1

2

×180°=90°，
∴△AEG為直角三角形；
∵EF=ED=EC，
∴△DFC為直角三角形，所以（1）正確；
∵∠AEG=90°，
∴EG⊥AE，
∵△ADE沿AE折疊后得到△AFE，
∴DF⊥AE，
∴EG∥DF，所以（2）正確；
∵Rt△EGF≌Rt△EGC，
∴CG=FG，
設(shè)CG=k，BG=1，則BC=k+1，F(xiàn)G=k，
∴AD=k+1，
∵△ADE沿AE折疊后得到△AFE，
∴AF=AD=k+1，
∴AG=AF+FG=2k+1，
在Rt△ABG中，
AB=

AF2-BG2

=

(2k+1)2-12

=2

k2+k

，
∴

AD

AB

=

k+1

2 k2+k

=

k+1

2 k

，所以（4）錯誤；
當(dāng)k=

1

3

時，即

CG

BG

=

1

3

時，CG=

1

4

BC=

1

4

AD，所以（3）錯誤．
故選：B．

點評：本題考查了折疊的性質(zhì)：折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等．也考查了矩形的性質(zhì)、圓周角定理的推論和三角形全等的判定與性質(zhì)．