Question

【題目】如圖，是⊙的直徑，弦,垂足為，，連結(jié)，為的中點(diǎn)，連結(jié)，過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)，交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)．

（1）求證：是⊙的切線(xiàn)；

（2）若，求⊙的半徑

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）2

【解析】

（1）連接OE，OF，利用垂徑定理及等腰三角形的性質(zhì)得到∠DOF=∠DOE．而∠DOE=2∠A，所以，由 得到，

于是可求出，所以為⊙的切線(xiàn)；
（2）連接OM，如圖，利用圓周角定理得到∠AEB=90°．再證明OM∥AE得到∠MOB=∠A=30°．而∠DOF=2∠A=60°，所以∠MOF=90°，設(shè)⊙O的半徑為r，利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得OM，然后根據(jù)勾股定理列出方程求解即可．

解：（1）如圖，連結(jié)，，

∵，是⊙的直徑

∴，

∵，，

∴

∵，

∴，

∴

∴為⊙的切線(xiàn)

（2）連接，

∵為⊙的直徑，

∴為中點(diǎn)，，

∵為的中點(diǎn)，

∴，

設(shè)⊙的半徑為．

∵，

∴，

∴．

∵,，

∴

∵

∴

∴，

∵，

∴.

解得．（舍去負(fù)根）

∴⊙的半徑為2.